| 数の概念 | 例 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 複素数 | 実数 | 有理数 | 整数 | 自然数 | $ 1, \ 2, \ 3 $ |
| ゼロ | $ 0 $ | ||||
| 負の整数 | $ -1, \ -2, \ -3 $ | ||||
| 有限小数 | 分数 | $ \displaystyle 0.5, \ \frac{3}{4} $ | |||
| 循環小数 | $ \displaystyle \frac{1}{3} $ | ||||
| 無理数 | 無限小数 | $ \displaystyle \sqrt{2}, \ \pi, \ \log2 $ | |||
| 虚数 | $ \displaystyle 3i, \ -5i $ | ||||
サンプル・プログラム
固定小数
固定小数で 01101.011 は
$ \displaystyle 01101.011 = 2^3 + 2^2 + 2^0 + 2^{-2} + 2^{-3} = 13.375 $となる。
5+3の固定小数では、整数部の範囲は +15～-16 で、小数部は 2-3 = 0.125 未満は扱うことができない（誤差になってしまう）。
データ幅を64ビットに増やしたとしても、固定小数の位置によって、その数量を計算するのにふさわしくない可能性がある。
このため、固定小数は、黎明期を除いてコンピュータで利用されることは無かった。
浮動小数
10進数の浮動小数は、たとえば -123.4 = -1.23×102 とあらわし、1.23が仮数、2が指数となる。
浮動小数はIEEE754という国際規格で定められており、符号は1ビット、仮数は23ビット、指数は8ビットの合計32ビットである。
コンピュータ内部では2進数となるから、表現可能な最小値は ±2-126 ≒ ±1.2×10-38、最大値は ±2127 ≒ ±3.4×1038 となる。32ビット整数で扱える最大値が 2.1×109 であることを考えると、それよりはるかに大きな数を扱うことができる。
また、浮動小数は3つのデータから成ることから、簡単なデータ構造であるといってもいい。
名数の計算では単位を揃える必要があることは、すでに述べたとおりだ。たとえば長さの単位を SI単位系であるメートルに統一すると、現代物理理論が通用する最小長であるプランク長から宇宙の果てまでの距離まで、浮動小数の範囲で扱うことができる。
| 対象 | メートル |
|---|---|
| プランク長(現代物理理論が通用する最小長) | 1.6×10-35 |
| 水素原子核の直径 | 1.75×10-15 |
| 最新CPUの配線の幅 | 1.4×10-8 |
| インフルエンザウイルスの大きさ | 1.0×10-7 |
| 大腸菌の大きさ | 1.0～3.0×10-6 |
| ヒトの毛髪の直径 | 1.0×10-4 |
| 日本人成人男子の平均身長 | 1.67×100 |
| 東京駅～新大阪駅 | 5.526×106 |
| 成田空港～ヒースロー空港 | 9.585×107 |
| 地球～月 | 3.844×1010 |
| 地球～太陽 | 1.496×1012 |
| 太陽～冥王星（平均距離） | 5.954×1013 |
| 最も近い恒星（プロキシマケンタウリ）までの距離 | 4.02×1016 |
| 天の川銀河中心部までの距離 | 2.65×1020 |
| ソンブレロ星雲（M104）までの距離 | 2.65×1023 |
| 宇宙の果てまでの距離 | 1.31×1026 |
システムで扱おうとしている数が、浮動小数の範囲内に収まるかどうか注意が必要だ。SI単位系は、SI接頭辞（マイクロ、ミリ、キロ、メガ‥‥）を付けることで10±3ずつ指数部の桁数を変えることができるから、範囲内に収まるような単位と接頭辞を選ぼう。
また、データ幅を64ビットに拡張した倍精度浮動小数も定義されている。
CやC#では、単精度を float、倍精度を double で型宣言する。
| 符号 | 仮数 | 指数 | 範囲 | |
|---|---|---|---|---|
| 単精度 | 1ビット | 23ビット | 8ビット | ±1.2×10-38～±3.4×1038 |
| 倍精度 | 1ビット | 52ビット | 11ビット | ±2.2×10-308～±1.8×10308 |
数の精度
測定値の場合は有効数字として桁数を使うことが多いが、浮動小数の場合は指数のビット数が精度を左右する。
循環小数
このため、データ属性が浮動小数の場合、1 ÷ 3 × 3＝ 0.999‥‥≠1 ということが起こりうる。システム開発する際、処理系の制約を確認しておこう。
10進数では有限小数だが、2進数で循環小数になる場合もある。たとえば 0.4 がそうである。
$ \displaystyle 0.4 = 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-6} + 2^{-7}... $
dt02-04-01.php
2: //演算誤差
3: $a = 6 - 5.6;
4: $b = 0.4;
5: echo $a - $b;
#演算誤差
a = 6 - 5.6
b = 0.4
print(a - b)
dt02-04-21.cpp
6: //演算誤差
7: int main() {
8: float a, b;
9: a = 6 - 4.6;
10: b = 0.4;
11: cout << setprecision(8) << setiosflags(ios::fixed) << a - b << endl;
12: return(0);
13: }
分数
#分数クラス
from fractions import Fraction
a = 6 - Fraction(56, 10)
b = Fraction(4, 10)
print(a - b)
PHPによる分数クラスの作成
| メソッド | 機能 |
|---|---|
| pahooFrac($n, $d) | インスタンス生成。$nが分子、$mが分母。$n, $dは負数でも小数でもよい。 |
| dec() | 分数を小数に変換する。 |
| isFiniteDecimal() | 分数が有限小数かどうかが判定する。 |
| printFrac($dec) | 分数表記を返す。$decがTRUEなら。有限小数の時は小数表記に変換する。 |
| add($x, $reduce) | 分数クラス $x を加算する。$reduceがFALSEなら約分しない。 |
| sub($x, $reduce) | 分数クラス $x を減算する。$reduceがFALSEなら約分しない。 |
| mul($x, $reduce) | 分数クラス $x を乗算する。$reduceがFALSEなら約分しない。 |
| div($x, $reduce) | 分数クラス $x を除算する。$reduceがFALSEなら約分しない。 |
pahooDataStructure.php
17: class pahooFrac {
18: var $error, $errmsg; //エラーフラグ，エラーメッセージ
19: var $numerator; //分子
20: var $denominator; //分母
21:
22: /**
23: * コンストラクタ
24: * @param double $numerator 分子（小数可；初期値=0）
25: * @param double $denominator 分母（小数可；初期値=1）
26: * @return なし
27: */
28: function __construct($numerator=0, $denominator=1) {
29: $this->error = FALSE;
30: $this->errmsg = '';
31: $this->numerator = $numerator;
32: $this->denominator = $denominator;
33: $this->dec2frac();
34: }
35:
36: /**
37: * デストラクタ
38: * @param なし
39: * @return なし
40: */
41: function __destruct() {
42: }
43:
44: /**
45: * 符号は分子に寄せる
46: * @param なし
47: * @return なし
48: */
49: function __sign() {
50: if ($this->denominator < 0) {
51: $this->numerator *= (-1);
52: $this->denominator = abs($this->denominator);
53: }
54: }
55:
56: /**
57: * 小数を整数部と小数部に分解する
58: * @param double $a 小数
59: * @return array(整数部, 小数部)
60: */
61: function split_dec($a) {
62: $b = $a > 0 ? floor($a) : ceil($a);
63: $c = $a - $b;
64: return array($b, $c);
65: }
66:
67: /**
68: * 分子・分母を整数に正規化する
69: * @param なし
70: * @return なし
71: */
72: function dec2frac() {
73: if (is_float($this->numerator)) {
74: list($a, $b) = $this->split_dec($this->numerator);
75: $n = 0;
76: while (TRUE) {
77: list($c, $d) = $this->split_dec($b);
78: if ($d == 0) break;
79: $b *= 10;
80: $n++;
81: }
82: $this->numerator = $a * pow(10, $n) + $b;
83: $this->denominator *= pow(10, $n);
84: }
85: if (is_float($this->denominator)) {
86: list($a, $b) = $this->split_dec($this->denominator);
87: $n = 0;
88: while (TRUE) {
89: list($c, $d) = $this->split_dec($b);
90: if ($d == 0) break;
91: $b *= 10;
92: $n++;
93: }
94: $this->denominator = $a * pow(10, $n) + $b;
95: $this->numerator *= pow(10, $n);
96: }
97: $this->reduce();
98: }
99:
100: /**
101: * 分数を小数に変換する
102: * @param なし
103: * @return double 小数
104: */
105: function dec() {
106: if ($this->denominator == 0) {
107: $this->error = TRUE;
108: $this->errmsg = 'pahooFrac: illegal denominator';
109: $res = NULL;
110: } else {
111: $res = $this->numerator / $this->denominator;
112: }
113: return $res;
114: }
115:
116: /**
117: * 最大公約数を求める（ユークリッドの互除法）
118: * @param int $m, $n 整数
119: * @return int 最大公約数
120: */
121: function gcdEuclidean($m, $n) {
122: if ($n == 0) return $m;
123: return $this->gcdEuclidean($n, (int)$m % $n);
124: }
125:
126: /**
127: * 最小公倍数を求める（ユークリッドの互除法）
128: * @param int $m, $n 整数
129: * @return int 最小公倍数
130: */
131: function lcmEuclidean($m, $n) {
132: if ($n == 0) return $m;
133: return $m * $n / $this->gcdEuclidean($m, $n);
134: }
135:
136: /**
137: * 素数を求める（エラトステネスのふるい）
138: * @param int $max 最大値
139: * @param array $primes 素数を格納する配列
140: * @return array $primes
141: */
142: function EratosthenesSieve($max, &$primes) {
143: for ($i = 2; $i <= $max; $i++) {
144: $flag = TRUE;
145: for ($k = 2; $k < $i; $k++) {
146: if ($i % $k === 0) {
147: $flag = FALSE;
148: break;
149: }
150: }
151: if ($flag) $primes[$i] = 0;
152: }
153: return $primes;
154: }
155:
156: /**
157: * 素因数分解
158: * @param array $primes 素因数を格納する配列
159: * @param int $n 素因数分解する整数
160: * @return array $primes
161: */
162: function primeDecomposition($n, &$primes) {
163: $max = floor(sqrt($n));
164: $this->EratosthenesSieve($max, $primes);
165:
166: //2から平方根までの素因数を求める
167: for ($i = 2; $i <= $max; $i++) {
168: if (isset($primes[$i])) {
169: do {
170: $b = $n % $i;
171: if ($b == 0) {
172: $primes[$i]++;
173: $n = floor($n / $i);
174: }
175: } while ($b == 0);
176: }
177: }
178: //残った素数
179: if ($n > $max) $primes[$n] = 1;
180:
181: return $primes;
182: }
183:
184: /**
185: * 有限小数かどうか
186: * @param なし
187: * @return bool TRUE/FALSE
188: */
189: function isFiniteDecimal() {
190: $gcd = $this->gcdEuclidean($this->denominator, $this->numerator);
191: $max = $this->denominator / $gcd;
192:
193: //分母に2, 5以外の素因数が含まれているかどうか
194: $primes = array();
195: $this->primeDecomposition($max, $primes);
196: $res = TRUE;
197: foreach ($primes as $key=>$val) {
198: if ($key != 2 && $key != 5 && $val > 0) {
199: $res = FALSE;
200: break;
201: }
202: }
203: return $res;
204: }
205:
206: /**
207: * 約分する
208: * @param なし
209: * @return なし
210: */
211: function reduce() {
212: $m = $this->gcdEuclidean($this->numerator, $this->denominator);
213: $this->numerator /= $m;
214: $this->denominator /= $m;
215: $this->__sign();
216: }
217:
218: /**
219: * 分数表記を返す
220: * @param bool $dec = TRUE:有限小数なら小数表記
221: * @return string
222: */
223: function printFrac($dec=FALSE) {
224: return ($dec && $this->isFiniteDecimal()) ? sprintf("%g", $this->dec()) :
225: sprintf("%d/%d", $this->numerator, $this->denominator);
226: }
227:
228: /**
229: * 分数を加算する
230: * @param pahooFrac $x 加える分数
231: * @param bool TRUE:約分する／FALSE:約分しない
232: * @return なし
233: */
234: function add($x, $reduce=TRUE) {
235: $denominator = $this->lcmEuclidean($this->denominator, $x->denominator);
236: $this->numerator = $this->numerator * ($denominator / $this->denominator)
237: + $x->numerator * ($denominator / $x->denominator);
238: $this->denominator = $denominator;
239: $this->__sign();
240: if ($reduce) $this->reduce();
241: }
242:
243: /**
244: * 分数を減算する
245: * @param pahooFrac $x 減ずる分数
246: * @param bool TRUE:約分する／FALSE:約分しない
247: * @return なし
248: */
249: function sub($x, $reduce=TRUE) {
250: $denominator = $this->lcmEuclidean($this->denominator, $x->denominator);
251: $this->numerator = $this->numerator * ($denominator / $this->denominator)
252: - $x->numerator * ($denominator / $x->denominator);
253: $this->denominator = $denominator;
254: $this->__sign();
255: if ($reduce) $this->reduce();
256: }
257:
258: /**
259: * 分数を乗算する
260: * @param pahooFrac $x 乗ずる分数
261: * @param bool TRUE:約分する／FALSE:約分しない
262: * @return なし
263: */
264: function mul($x, $reduce=TRUE) {
265: $this->numerator *= $x->numerator;
266: $this->denominator *= $x->denominator;
267: $this->__sign();
268: if ($reduce) $this->reduce();
269: }
270:
271: /**
272: * 分数を除算する
273: * @param pahooFrac $x 除する分数
274: * @param bool TRUE:約分する／FALSE:約分しない
275: * @return なし
276: */
277: function div($x, $reduce=TRUE) {
278: $this->numerator *= $x->denominator;
279: $this->denominator *= $x->numerator;
280: $this->__sign();
281: if ($reduce) $this->reduce();
282: }
283:
284: // End of Class
dt02-04-12.php
11: //データ構造クラス
12: require_once('pahooDataStructure.php');
13:
14: // メイン・プログラム ======================================================
15: printf("\n");
16:
17: $b = new pahooFrac(1, 3); //分数
18:
19: $a = new pahooFrac(3, 5); //分数
20: printf("%s", $a->printFrac(FALSE));
21: $a->add($b); //加算
22: printf(" ＋ %s ＝ %s\n", $b->printFrac(FALSE), $a->printFrac(TRUE));
23:
24: $a = new pahooFrac(0.6, 1); //分数；分子が小数でもOK
25: printf("%s", $a->printFrac(FALSE));
26: $a->sub($b); //減算
27: printf(" － %s ＝ %s\n", $b->printFrac(FALSE), $a->printFrac(TRUE));
28:
29: $a = new pahooFrac(1.5, 2.5); //分数；分母が小数でもOK
30: printf("%s", $a->printFrac(FALSE));
31: $a->mul($b); //乗算
32: printf(" × %s ＝ %s\n", $b->printFrac(FALSE), $a->printFrac(TRUE));
33:
34: $a = new pahooFrac(3, 5); //分数
35: printf("%s", $a->printFrac(FALSE));
36: $a->div($b); //除算
37: printf(" ÷ %s ＝ %s\n", $b->printFrac(FALSE), $a->printFrac(TRUE));
38:
39: /*
実行結果は左図の通り。3分の1に関わる計算も循環小数とならない。
無理数
ここでも誤差が問題になる。
dt02-04-11.php
2: //無理数
3: $a = sqrt(3);
4: $b = $a * $a;
5: echo $b;
#無理数
import math
a = math.sqrt(3)
b = a * a
print(b)
コラム：虚数
なぜXY平面で描かないかというと、波形処理では、波形上にある点を微分で求めることが多い。このとき、XY平面では2つの式を処理するか、三角関数を使わなければならないが、複素平面だと $ a + bi $ という1つの式で表すことができ、計算量が減る。微分方程式は計算量が多いので、元の方程式の計算量が減ることで、プログラムを簡素化できたり、ハードウェア回路を小型化、高速化することができる。さらに、複素フーリエ級数からフーリエ変換を導出できる。
フーリエ変換は、少ない計算量で様々な波形処理ができることから、ノイズフィルタ、イコライザはもちろん、AIに学習させるデータを前処理する工程や、統計・検定でも活躍する。
フーリエ変換は理系のためのツールではない。景気変動やデリバティブにも適用されている。文系の方、とくに経済・金融関係の仕事をされている方は、虚数の存在を思い出してほしい。
詳しくは『今日から使えるフーリエ変換 普及版』（三谷政昭，2019年4月）をご覧いただきたい。
だが、詳しくは専門書をご覧いただきたいのだが、このグラフに虚軸を加えると、グラフは曲面となり、X軸を含む平面と交わる部分が出てくる。
