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目次
本項で扱う範囲
本項の要点
小学4年交換法則、結合法則、分配法則を用いて計算を工夫する
計算順序括弧、乗法・除法、加法・減法の順に計算する
式の意味場面を一つの式へ表し、途中式でも等号を正しく使う
\( \TeX \)
\times、\div、\left(\right) を使う教科書で見かける式
| 内容 | 式 | 結果 |
|---|---|---|
| 交換法則 | \( 7+3=3+7 \)、\( 4\times6=6\times4 \) | 順序を替えても同じ |
| 結合法則 | \( (2+8)+5=2+(8+5) \) | まとまり方を替えても同じ |
| 分配法則 | \( 7\times(10+2)=7\times10+7\times2 \) | 括弧を分けて掛ける |
| 乗法を先に計算 | \( 36+4\times5 \) | 56 |
| 括弧を先に計算 | \( (36+4)\times5 \) | 200 |
\( \TeX \)表記
加法と乗法には交換法則が成り立ち、\( a+b=b+a \)、\( a\times b=b\times a \) と表せる。減法と除法では、一般に順序を替えられない。例えば \( 8-3\ne3-8 \)、\( 8\div4\ne4\div8 \) である。
加法と乗法には結合法則も成り立ち、\( (a+b)+c=a+(b+c) \)、\( (a\times b)\times c=a\times(b\times c) \) と表せる。分配法則は \( a\times(b+c)=a\times b+a\times c \) であり、\( 25\times12=25\times(10+2) \) のように計算を工夫できる。
四則混合計算では、まず括弧の中、次に乗法・除法、最後に加法・減法を計算する。同じ優先順位の演算だけが並ぶ場合は左から計算する。したがって \( 36+4\times5=36+20=56 \) だが、\( (36+4)\times5=40\times5=200 \) である。
加法と乗法には結合法則も成り立ち、\( (a+b)+c=a+(b+c) \)、\( (a\times b)\times c=a\times(b\times c) \) と表せる。分配法則は \( a\times(b+c)=a\times b+a\times c \) であり、\( 25\times12=25\times(10+2) \) のように計算を工夫できる。
四則混合計算では、まず括弧の中、次に乗法・除法、最後に加法・減法を計算する。同じ優先順位の演算だけが並ぶ場合は左から計算する。したがって \( 36+4\times5=36+20=56 \) だが、\( (36+4)\times5=40\times5=200 \) である。
\( \TeX \)命令の読み方と意味
| \( \TeX \)表記 | 読み方 | 意味 |
|---|---|---|
\times | タイムズ | 乗法記号 \( \times \) を表示する |
\div | ディバイド | 除法記号 \( \div \) を表示する |
\left( ... \right) | レフト、ライト | 内容に合う大きさの括弧を表示する |
\ne | ノット・イコール | 等しくないことを表す |
よくある間違い
- 全て左から計算する
- \( 36+4\times5 \) は乗法を先に計算し、\( 36+20=56 \) とする。
- 括弧を後回しにする
- \( (36+4)\times5 \) は括弧の中を先に計算して200とする。
- 減法でも交換する
- 交換法則が成り立つのは加法と乗法である。\( 8-3 \) と \( 3-8 \) は等しくない。
- 分配すると一方へしか掛けない
- \( 7\times(10+2) \) は10と2の両方へ7を掛ける。
- 途中式を等号でつなげない
- 等号の左右は常に同じ値にする。計算していない部分も省略しない。
コピーして使える例
交換法則
\( a + b = b + a,\quad a \times b = b \times a \)
結合法則
\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
分配法則
\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)
四則混合計算
\( 36 + 4 \times 5 = 36 + 20 = 56 \)
練習問題
- \( 18+6\times4 \) を計算する。
- \( (18+6)\times4 \) を計算する。
- \( 25\times16 \) を分配法則で工夫して計算する。
- \( 8+17+2 \) を交換法則と結合法則で工夫して計算する。
- \( 72\div8\times3 \) を計算する。
解答例
- \( 18+6\times4=18+24=42 \)
- \( (18+6)\times4=24\times4=96 \)
- \( 25\times16=25\times(10+6)=250+150=400 \)
- \( 8+17+2=(8+2)+17=27 \)
- \( 72\div8\times3=9\times3=27 \)
学習指導要領上の位置づけ
小学校第4学年の算数「A 数と計算」では、四則の混合した式や括弧を用いた式について理解し、正しく計算することを扱う。また、交換法則、結合法則、分配法則を用いて計算を簡単にしたり、計算の仕方を説明したりする。具体的な場面を一つの式に表し、式から場面や計算の順序を読み取る活動も重視される。
次項：正の数と負の数（中学1年）
次項からは中学校数学に入る。0より小さい数を導入し、正の数と負の数を数直線上で捉える。反対の性質を持つ量や基準との差を正負の符号で表し、加減の計算へ進むための\( \TeX \)表記も紹介する。
コラム：計算のきまりは暗算にも役立つ
計算のきまりは記号上の規則だけではなく、暗算を簡単にする道具である。\( 98+37+2 \) は交換法則と結合法則で \( (98+2)+37=137 \) とできる。\( 25\times36 \) は \( 25\times(4\times9)=(25\times4)\times9=900 \) とまとまりを替えると計算しやすい。
どのきまりを使ったかを途中式に残すと、答えだけでなく考え方も伝わる。ただし、いつでも順序を替えられるわけではない。減法や除法を含むときは、式の値を変えない変形かどうかを具体的な数で確かめる習慣を付けたい。
どのきまりを使ったかを途中式に残すと、答えだけでなく考え方も伝わる。ただし、いつでも順序を替えられるわけではない。減法や除法を含むときは、式の値を変えない変形かどうかを具体的な数で確かめる習慣を付けたい。
参考サイト
- 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
- Supported Functions：KaTeX
（この項おわり）
この項では、交換法則、結合法則、分配法則と四則混合計算の順序を、具体的な数と\( \TeX \)表記で整理する。