3.7 空間図形――位置関係、投影図、表面積と体積（中学1年）

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箱の向こう側にある辺は、正面から見るとどこへ消えるのだろう。円錐を開くと、側面はどのような平面図形になるのだろう。
本項では、空間内の直線と平面の位置関係を言葉で整理し、立体を見取図・展開図・投影図で平面上に表す。さらに、柱体・錐体・球の表面積と体積を、底面、側面、高さの関係から導き、\( \TeX \)表記で読みやすく表す。

本項で扱う範囲
教科書で見かける式
\( \TeX \)表記
\( \TeX \)命令の読み方と意味
よくある間違い
コピーして使える例
練習問題
学習指導要領上の位置づけ
次項：データの分布――度数分布と代表値（中学1年）
コラム：投影図は立体の設計図
コラム：展開図で曲面を測る
参考サイト

本項で扱う範囲

本項の要点

中学1年観察と操作を通して、空間図形の性質と計量を学ぶ

位置関係直線どうし、直線と平面、平面どうしの関係を分類する

平面表現見取図、展開図、投影図を相互に読み替える

計量柱体・錐体・球の表面積と体積を求める

\( \TeX \)\parallel、\perp、\pi、\frac、上付き文字を使う

平面図形――作図と図形の移動では、平行や垂直を紙の上で調べた。空間図形では、同じ平面上にない直線が現れ、見る方向によって辺の重なり方も変わる。
模型を手に取り、見える辺と見えない辺、平行な面、垂直な辺を指し示してから図へ移すとよい。実物 → 平面上の表現 → 式による計量の順に、立体を異なる方法で捉えることが本項の中心である。

教科書で見かける式

直線どうしの位置関係: 空間内の2直線は、1点で交わる、平行である、ねじれの位置にある、の三つに分けられる。ねじれの位置とは、交わらず、平行でもなく、同じ平面上にない関係である。立方体の辺を使うと見付けやすい。

直線と平面の位置関係: 直線が平面上にある、1点で交わる、平面と平行である、の三つに分けられる。交わる場合、その直線が交点を通る平面上のすべての直線に垂直なら、直線は平面に垂直である。

平面どうしの位置関係: 二つの平面は、1本の直線で交わるか、平行になる。直方体では、向かい合う面は平行で、隣り合う面は垂直である。

対象	位置関係	立方体での例
2直線	交わる・平行・ねじれの位置	隣り合う辺・向かい合う辺・異なる面にある辺
直線と平面	平面上・1点で交わる・平行	面の辺・面を貫く辺・反対側の辺
2平面	1直線で交わる・平行	隣り合う面・向かい合う面

見取図: 立体の形が分かるように斜めから見てかく図である。見えない辺を破線にすると、奥行きや面のつながりを読み取りやすい。ただし、見取図上の角度や長さが実物どおりとは限らない。

展開図: 立体の表面を辺に沿って切り開き、平面上に並べた図である。組み立てたときに重なる頂点や接する辺を考えられる。表面積は、展開図に現れるすべての面の面積の合計である。

投影図: 立体を正面から見た立面図と、真上から見た平面図を組にした図である。二つの図で対応する位置をそろえると、幅・高さ・奥行きを読み取れる。一方向だけでは区別できない立体もあるため、二方向の情報を合わせる。

立体	平面図	立面図
直方体	長方形	長方形
円柱	円	長方形
円錐	円	二等辺三角形
球	円	円

柱体は、合同で平行な二つの底面をもち、二つの底面の間の距離が高さである。底面積を \( S \)、高さを \( h \) とすると、角柱と円柱の体積はどちらも \( V=Sh \) となる。
錐体は一つの底面と一つの頂点をもち、同じ底面積・高さの柱体の \( \displaystyle \frac{1}{3} \) の体積になる。したがって角錐と円錐では \( \displaystyle V=\frac{1}{3}Sh \) である。

立体	表面積	体積
角柱	底面積の2倍と各側面の合計	\( V=Sh \)
円柱	\( S_{\mathrm{total}}=2\pi rh+2\pi r^2 \)	\( V=\pi r^2h \)
角錐	底面と各側面の合計	\( \displaystyle V=\frac{1}{3}Sh \)
円錐	\( S_{\mathrm{total}}=\pi rl+\pi r^2 \)	\( \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h \)
球	\( S=4\pi r^2 \)	\( \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3 \)

円柱の側面を開くと、横が底面の円周 \( 2\pi r \)、縦が高さ \( h \) の長方形になるので、側面積は \( 2\pi rh \) である。円錐の側面を開くと、半径が母線 \( l \) の扇形になる。扇形の弧は底面の円周 \( 2\pi r \) と等しいため、側面積は \( \pi rl \) となる。
表面積ではすべての外側の面を数える。体積では、底面積に掛けるのは斜めの母線ではなく、底面に垂直な高さである。

\( \TeX \)表記

直線 \( \ell \) と \( m \) の平行は \( \ell\parallel m \)、垂直は \( \ell\perp m \) と書く。立体の計量では、円周率 \( \pi \)、半径 \( r \)、高さ \( h \)、母線 \( l \)、底面積 \( S \) を区別する。
面積の平方は ^2、体積の立方は ^3 を使う。分数を含む錐体と球の体積は、インラインでも \( \displaystyle \frac{1}{3} \) のように \displaystyle を付ける。

\( \TeX \)表記	表示	意味
`\ell\parallel m`	\( \ell\parallel m \)	直線 \( \ell \) と \( m \) は平行
`\ell\perp\alpha`	\( \ell\perp\alpha \)	直線 \( \ell \) と平面 \( \alpha \) は垂直
`S=2\pi rh+2\pi r^2`	\( S=2\pi rh+2\pi r^2 \)	円柱の表面積
`V=\frac{1}{3}\pi r^2h`	\( \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h \)	円錐の体積
`V=\frac{4}{3}\pi r^3`	\( \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3 \)	球の体積

複数の公式をまとめるときは aligned 環境を使う。等号の前に & を置くと縦にそろい、柱体と錐体の違いを比較しやすい。

\[ \begin{aligned} V_{\mathrm{prism}} &= Sh, \\ V_{\mathrm{pyramid}} &= \frac{1}{3}Sh, \\ S_{\mathrm{sphere}} &= 4\pi r^2, \\ V_{\mathrm{sphere}} &= \frac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned} \]

\( \TeX \)命令の読み方と意味

命令	読み方の目安	意味
`\ell`	エル	直線名によく使う筆記体の小文字 \( \ell \) を表示する
`\parallel`	パラレル	平行記号 \( \parallel \) を表示する
`\perp`	パープ	垂直記号 \( \perp \) を表示する
`\pi`	パイ	円周率 \( \pi \) を表示する
`\frac{a}{b}`	フラク	分子 \( a \)、分母 \( b \) の分数 \( \displaystyle \frac{a}{b} \) を作る
`r^2`	アール・キャレット・ツー	上付き文字を使って \( r^2 \) を表示する
`S_{\mathrm{total}}`	エス・アンダースコア	下付きの説明をローマン体にして \( S_{\mathrm{total}} \) と表示する

\fracは二つの波括弧を取り、最初が分子、次が分母である。^と_の対象が2文字以上なら、r^{10}やS_{\mathrm{side}}のように波括弧でまとめる。
\mathrmは、数式中の説明語を立体のローマン体にする命令である。変数と説明語を見分けやすくするため、totalやsphereのような語に使う。

よくある間違い

交わらない2直線をすべて平行とする: 空間では、交わらず平行でもない「ねじれの位置」がある。2直線が同じ平面上にあるかも確かめる。

見取図の長さや角度を実物どおりと考える: 見取図は立体の形を分かりやすく示す図であり、図上の長さや角度から実物の値を決めない。

投影図を一方向だけで判断する: 平面図と立面図を対応させ、幅・高さ・奥行きの三つの情報を合わせる。

表面積で底面を一つだけ足す: 柱体には底面が二つある。円柱なら側面積 \( 2\pi rh \) に \( 2\pi r^2 \) を足す。

円錐の側面積を三角形として求める: 円錐の側面の展開図は扇形であり、側面積は \( \pi rl \) で求める。

体積に母線を使う: 体積に使う高さ \( h \) は底面に垂直な距離である。円錐の母線 \( l \) と区別する。

錐体の体積で3分の1を忘れる: 角錐と円錐の体積は、同じ底面積と高さの柱体の \( \displaystyle \frac{1}{3} \) である。

球の表面積と体積の公式を混同する: 表面積は \( 4\pi r^2 \)、体積は \( \displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3 \) と、単位の次数も含めて確かめる。

コピーして使える例

公式は、何を求める式かが分かる名前とともに保存すると使いやすい。次の表示は、数式区切りを含むため、そのまま記事やノートへ貼り付けられる。

空間内の位置関係

\( \ell\parallel m \), \( \ell\perp m \), \( \ell\perp\alpha \), \( \alpha\parallel\beta \)

柱体と錐体の体積

\( V_{\mathrm{prism}}=Sh \), \( \displaystyle V_{\mathrm{pyramid}}=\frac{1}{3}Sh \)

円柱の表面積と体積

\( S=2\pi rh+2\pi r^2 \), \( V=\pi r^2h \)

円錐の表面積と体積

\( S=\pi rl+\pi r^2 \), \( \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h \)

球の表面積と体積

\( S=4\pi r^2 \), \( \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3 \)

練習問題

問題1　位置関係
立方体 \( ABCD-EFGH \) で、\( AE,BF,CG,DH \) を互いに平行な辺とする。辺 \( AB \) と平行な辺をすべて挙げよ。また、辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺をすべて挙げよ。
問題2　投影図
平面図が円、立面図が長方形である立体を一つ答えよ。また、平面図も立面図も円になる立体を一つ答えよ。
問題3　円柱
底面の半径が \( 3\,\mathrm{cm} \)、高さが \( 5\,\mathrm{cm} \) の円柱の表面積と体積を求めよ。
問題4　円錐
底面の半径が \( 3\,\mathrm{cm} \)、高さが \( 4\,\mathrm{cm} \)、母線が \( 5\,\mathrm{cm} \) の円錐の表面積と体積を求めよ。
問題5　球
半径が \( 6\,\mathrm{cm} \) の球の表面積と体積を求めよ。
問題6　合成された立体
底面積が \( 24\,\mathrm{cm}^2 \)、高さが \( 10\,\mathrm{cm} \) の角柱と、同じ底面・同じ高さの角錐がある。二つの体積の和を求めよ。

解答と考え方

問題1
平行な辺は \( CD,EF,GH \) である。ねじれの位置にある辺は \( CG,DH \) である。\( AB \) と交わる辺、平行な辺を除き、同一平面上にない辺を選ぶ。
問題2
平面図が円、立面図が長方形になる立体は円柱である。平面図も立面図も円になる立体は球である。投影図だけでは立体を一意に決められない場合もある。
問題3
表面積は \( S=2\pi\cdot3\cdot5+2\pi\cdot3^2=48\pi\,\mathrm{cm}^2 \)、体積は \( V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi\,\mathrm{cm}^3 \) である。
問題4
表面積は \( S=\pi\cdot3\cdot5+\pi\cdot3^2=24\pi\,\mathrm{cm}^2 \)、体積は \( \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\,\mathrm{cm}^3 \) である。
問題5
表面積は \( S=4\pi\cdot6^2=144\pi\,\mathrm{cm}^2 \)、体積は \( \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3=288\pi\,\mathrm{cm}^3 \) である。
問題6
角柱は \( 24\cdot10=240\,\mathrm{cm}^3 \)、角錐は \( \displaystyle \frac{1}{3}\cdot24\cdot10=80\,\mathrm{cm}^3 \) なので、和は \( 320\,\mathrm{cm}^3 \) である。

学習指導要領上の位置づけ

中学校学習指導要領の第1学年「図形」では、観察や操作などを通して空間図形への理解を深める。直線や平面の位置関係、空間図形の構成と平面上の表現、扇形の弧の長さと面積、基本的な柱体・錐体・球の表面積と体積が対象である。
学習指導要領解説は、見取図、展開図、投影図を用いて各要素の位置関係を調べることを重視する。特に投影図は、中学校数学で初めて学び、上から見た平面図と前から見た立面図を組み合わせて立体の性質を考察する。公式を暗記するだけでなく、模型を切り開く、回す、別の方向から見るといった活動を式と結び付けることが大切である。

次項：データの分布――度数分布と代表値（中学1年）

次項では、集めたデータを度数分布表やヒストグラムに整理し、平均値・中央値・最頻値などの代表値を使って分布の特徴を読む。空間図形で複数の見方を組み合わせたように、データも一つの数値だけでなく、表・グラフ・代表値を対応させて考える。

コラム：投影図は立体の設計図

建物や機械部品を作るとき、斜めから見た一枚の絵だけでは正確な寸法を伝えにくい。そこで、正面・上・横など互いに直交する方向から見た図を使う。中学校で学ぶ平面図と立面図は、その考え方の入口である。
同じ立面図になる立体でも、平面図が違えば奥行きや輪郭を区別できる。逆に、球のようにどの方向から見ても円になる立体もある。投影図を読むときは、二つの図の横幅が対応すること、立面図が高さ、平面図が奥行きを表すことに注目する。

TikZは、座標と描画命令を使って図を組み立てる\( \TeX \)パッケージである。WebページではTikZJaxを使うと、<script type="text/tikz">内のTikZコードがSVGへ変換される。
次の例は、上段を平面図、下段を立面図として、左から直方体 \( A \)、円柱 \( B \)、円錐 \( C \) を並べる。灰色の横線は二つの投影面の境界、破線は対応する幅を表す。円柱と円錐は平面図が同じ円でも、立面図を合わせると区別できる。

TikZによる直方体・円柱・円錐の投影図

<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}[scale=0.72,line cap=round,line join=round]
  % A: rectangular prism
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \node at (0,3.1) {$A$};
    \draw[blue!65!black,very thick] (-1.6,1.1) rectangle (1.6,2.5);
    \draw[gray] (-2.1,0.3) -- (2.1,0.3);
    \draw[gray,dashed] (-1.6,1.1) -- (-1.6,-0.5);
    \draw[gray,dashed] ( 1.6,1.1) -- ( 1.6,-0.5);
    \draw[orange!80!black,very thick] (-1.6,-2.0) rectangle (1.6,-0.5);
  \end{scope}
  % B: cylinder
  \begin{scope}[xshift=5.2cm]
    \node at (0,3.1) {$B$};
    \draw[blue!65!black,very thick] (0,1.8) circle (0.8);
    \draw[gray] (-2.1,0.3) -- (2.1,0.3);
    \draw[gray,dashed] (-0.8,1.8) -- (-0.8,-0.5);
    \draw[gray,dashed] ( 0.8,1.8) -- ( 0.8,-0.5);
    \draw[orange!80!black,very thick] (-0.8,-2.0) rectangle (0.8,-0.5);
  \end{scope}
  % C: cone
  \begin{scope}[xshift=9.5cm]
    \node at (0,3.1) {$C$};
    \draw[blue!65!black,very thick] (0,1.8) circle (0.8);
    \draw[gray] (-2.1,0.3) -- (2.1,0.3);
    \draw[gray,dashed] (-0.8,1.8) -- (-0.8,-2.0);
    \draw[gray,dashed] ( 0.8,1.8) -- ( 0.8,-2.0);
    \draw[orange!80!black,very thick] (-0.8,-2.0) -- (0,-0.5) -- (0.8,-2.0) -- cycle;
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
</script>

\begin{scope}[xshift=...cm]は、同じ座標で作った図を横へ移して並べる指定である。rectangleは長方形、circleは円、-- cycleは始点へ戻って輪郭を閉じる。投影方向に対応する位置をdashedの線で結ぶと、平面図と立面図の幅の対応が見やすい。

コラム：展開図で曲面を測る

円柱や円錐の側面は曲がっているが、展開図にすると、円柱は長方形、円錐は扇形になる。測りにくい曲面を、既に面積を求められる平面図形へ置き換えるのである。
半径 \( r \)、中心角 \( a^\circ \) の扇形では、弧の長さは \( \displaystyle 2\pi r\cdot\frac{a}{360} \)、面積は \( \displaystyle \pi r^2\cdot\frac{a}{360} \) である。円錐の展開図では、この弧の長さが底面の円周と一致する。この対応を使えば、母線と底面の半径から扇形の中心角も逆算できる。

円柱の展開図では、側面の長方形の横を底面の円周 \( 2\pi r \)、縦を高さ \( h \) にする。次の例は \( r=0.8 \)、\( h=2.2 \) とし、長方形の横を約 \( 5.03 \) にしている。二つの円は合同であり、長方形の上下の辺に沿って巻き戻すと円柱になる。

TikZによる円柱の展開図

<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,line cap=round,line join=round]
  \def\r{0.8}
  \def\h{2.2}
  \pgfmathsetmacro{\halfC}{pi*\r}
  \pgfmathsetmacro{\halfH}{\h/2}
  \pgfmathsetmacro{\circleY}{\halfH+\r}
  \pgfmathsetmacro{\dimX}{\halfC+0.35}
  \pgfmathsetmacro{\dimY}{-\halfH-2*\r-0.35}
  \draw[orange!80!black,very thick,fill=orange!8]
    (-\halfC,-\halfH) rectangle (\halfC,\halfH);
  \draw[blue!65!black,very thick,fill=blue!8]
    (0,\circleY) circle (\r);
  \draw[blue!65!black,very thick,fill=blue!8]
    (0,-\circleY) circle (\r);
  \draw[gray,dashed] (-\halfC,\halfH) -- (\halfC,\halfH);
  \draw[gray,dashed] (-\halfC,-\halfH) -- (\halfC,-\halfH);
  \draw[<->] (-\halfC,\dimY) -- (\halfC,\dimY)
    node[midway,below] {$2\pi r$};
  \draw[<->] (\dimX,-\halfH) -- (\dimX,\halfH)
    node[midway,right] {$h$};
\end{tikzpicture}
</script>

円錐では、側面が半径 \( l \) の扇形になる。下の例は底面の半径を \( r=1 \)、母線を \( l=2 \) とした場合である。底面の円周と扇形の弧はともに \( 2\pi \) なので、扇形の中心角は180度になる。

TikZによる円錐の展開図

<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,line cap=round,line join=round]
  \draw[orange!80!black,very thick,fill=orange!8]
    (0,0) -- (0,-2)
    arc[start angle=-90,end angle=90,radius=2]
    -- cycle;
  \fill (0,0) circle (1.6pt);
  \draw[gray,dashed] (0,0) -- (0,-2)
    node[midway,left] {$l=2$};
  \draw[blue!65!black,very thick,fill=blue!8]
    (3.2,0) circle (1);
  \draw[gray,dashed] (3.2,0) -- (4.2,0)
    node[midway,above] {$r=1$};
\end{tikzpicture}
</script>

\pgfmathsetmacroは計算結果を名前に保存する命令で、円周 \( 2\pi r \) を長方形の幅へ直接使える。arcは開始角・終了角・半径を指定して円弧を描く。円錐では、扇形の弧の長さ＝底面の円周になるように中心角を決める。
球面は、伸び縮みさせずに平面へ完全には開けない。そのため、円柱や円錐のような正確な展開図は作れず、地図では目的に応じた投影法によるひずみを受け入れている。