3.15 確率（中学1〜2年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \TeX \)表記
4. \( \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：四分位範囲と箱ひげ図（中学2年）
10. コラム：表が続いたら、次は裏が出やすい？
11. コラム：漏れなく、ダブりなく（MECE）
12. コラム：もどす・もどさない
13. コラム：同様に確からしいとは？
14. 参考サイト

同じ条件で繰り返す実験を試行、その結果についてのことがらを事象という。例えば「さいころを1回投げる」が試行、「偶数の目が出る」が事象である。
まずは実験の記録から考える。硬貨を200回投げて表が104回出たなら、表の相対度数は \( \displaystyle \frac{104}{200}=0.52 \) である。これは実験結果の例であり、硬貨の真の確率が正確に0.52だと決まったわけではない。
公平なさいころの各面や、公平な硬貨の表と裏のように、どの場合も同じ程度に起こると考えられることを同様に確からしいという。以下の硬貨・さいころは公平で、それぞれの投げた結果は互いに影響しないものとする。

2枚の硬貨はA、Bと区別する。同時に投げても「Aが表でBが裏」と「Aが裏でBが表」は別の結果である。樹形図の枝を最後までたどると、同様に確からしい4通りを整理できる。

2個のさいころもA、Bと区別する。次の表の行はAの目、列はBの目を示し、各マスには和を書く。36個のマスは同様に確からしく、和が7になるマスは6個ある。和そのものを2～12の11通りに分けても、それらは同様に確からしくない。

確率を \( p \) とすると、必ず \( 0\leqq p\leqq 1 \) となる。起こらない事象の確率は0、必ず起こる事象の確率は1である。起こり得るすべての基本的な場合が同様に確からしいときは、次の割合で求める。

\[ p=\frac{\text{その事象が起こる場合の数}}{\text{起こり得るすべての場合の数}} \]

基本的な場合とは、ここでは樹形図の末端やさいころの表の各マスに当たる。分母と分子は、同じ分け方で数えることが大切である。
本項で用いる \( P(A) \) は「事象 \( A \) が起こる確率」の表記である。中学校の答案では「求める確率は」と書いて分数で示してもよい。\( \overline{A} \) は「\( A \) が起こらない」という反対の事象（余事象）を表す。中学段階では記号を覚えるより、確率の和が1になる理由を理解したい。
例えば硬貨2枚の「少なくとも1枚が表」は、「2枚とも裏」以外である。その確率は \( \displaystyle 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \) となる。

赤玉3個、白玉2個が入った袋から、よく混ぜて1個ずつ2回取り出す。どの玉も同じように選ばれるとする。1個目を戻すかどうかで2回目の条件が変わる。
戻さない場合、1個目が赤なら、残りは全4個のうち赤2個である。2個とも赤の確率は \( \displaystyle \frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10} \) となる。1個目を戻してよく混ぜる場合は \( \displaystyle \frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25} \) である。
玉に1～5の番号を付けて区別すると、戻さない場合の取り出す順序は \( 5\times4=20 \) 通り、両方赤になる順序は \( 3\times2=6 \) 通りなので、\( \displaystyle \frac{6}{20}=\frac{3}{10} \) と数え上げでも確かめられる。戻す場合は全 \( 5\times5=25 \) 通りのうち両方赤が \( 3\times3=9 \) 通りになる。

割合を求めれば必ず確率になる

場合の数の比を使う前に、基本的な各場合が同様に確からしいかを確かめる。偏った硬貨に表・裏の2通りがあっても、表の確率を2分の1とは決められない。

硬貨2枚を3通りと数える

「表2枚・1枚ずつ・裏2枚」の3分類は同様に確からしくない。AとBを区別した表表・表裏・裏表・裏裏の4通りで数える。

さいころの和11通りを分母にする

和2は1通り、和7は6通りである。区別した2個の出方36通りを分母にする。

6回投げれば必ず1回は1が出る

1の確率が6分の1でも、6回中の出現回数は決まらない。確率は多数回の試行での傾向を表す。

玉を戻す条件を読み落とす

赤3個・白2個から戻さずに赤を1個取ると、次は赤2個・全4個である。2回目も分母5とはしない。

分数の波括弧を省く

\frac{12}{36}のように、分子と分母をそれぞれ波括弧でまとめる。

次の問題を解き、答えを \( \TeX \)表記でも書こう。硬貨・さいころは公平で、各回の結果は互いに影響しないものとする。玉はよく混ぜ、各玉が同じように選ばれるものとする。

2017年（平成29年）告示の中学校学習指導要領では、第1学年「D データの活用」で、多数の観察や多数回の試行によって得られる確率の必要性と意味を学ぶ。相対度数を使い、不確定な事象の起こりやすさの傾向を読み取り、表現する。
第2学年では、同様に確からしいことに着目し、場合の数を基にして得られる確率の意味や求め方を学ぶ。樹形図や二次元の表で落ちや重なりなく数え、実験による確率と関連付ける。本項の \( P(A) \) や余事象の記号は表記を広げるための紹介であり、中学校で一律に暗記する記号として扱うものではない。
詳しくは、文部科学省の数学編解説の第1・第2学年「D データの活用」を参照されたい。

次項「四分位範囲と箱ひげ図」では、データの中央付近の散らばり方を捉える。四分位数、四分位範囲、箱ひげ図の読み方を整理し、複数の集団を比較するための \( \TeX \)表記を学ぶ。

公平な硬貨を投げて表が5回続くと、「次は裏が出て帳尻が合うはず」と感じるかもしれない。しかし、各回の結果が互いに影響しないなら、次の1回で裏が出る確率は依然として \( \displaystyle \frac{1}{2} \) である。硬貨に過去の結果を埋め合わせる働きはない。
多数回投げると表の相対度数が \( \displaystyle \frac{1}{2} \) の近くに安定する傾向があることと、表・裏の回数差が必ず小さくなることは別である。例えば表が5回先行した後に表と裏が500回ずつ出れば、回数差は5のままだが、表の割合は \( \displaystyle \frac{505}{1005} \) と半分に近づく。
確率は短い期間の結果を保証しない。実験の割合が理論値からずれても、直ちに不公平だと断定せず、試行回数や実験条件と合わせて考えよう。

次のグラフは、公平な硬貨を独立に10,000回投げる実験をコンピュータで3組再現したものである。変わるのは表の相対度数であり、表の確率 \( \displaystyle \frac{1}{2} \) は一定である。曲線は上下に揺れ、ときには半分から遠ざかる。毎回まっすぐ近づくわけではない。

この考え方は、MECE（Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive）と呼ばれる。Mutually Exclusiveは「互いに重ならない」、Collectively Exhaustiveは「全体を網羅する」という意味である。
さいころ2個なら、行を1個目の1～6、列を2個目の1～6と固定する。各行の6マスを左から順に埋め、全部で \( 6\times6=36 \) マスあるかを確かめる。最後に条件に合うマスだけを選べば、数え落としも同じマスの二重計上も減らせる。
MECEは各区分の確率が等しいことまでは保証しない。硬貨2枚を「表2枚・表1枚・表0枚」と分けても、分類に漏れや重なりはないが、確率は等しくない。場合の数の比で確率を求めるには、さらに同様に確からしいという条件が要る。

システム設計でも、入力に応じた処理を表にすると、漏れや重複を調べやすい。例えば、通信販売の送料を「会員か」「購入額が3,000円以上か」の二つの条件で決める設計を考えよう。次の金額は説明のための架空のルールである。

どの注文も4行のうち一つだけに当てはまる。「以上」と「未満」を組み合わせたので、3,000円ちょうどの扱いも明確である。空欄があれば処理漏れ、二つの行が同時に当てはまって送料が違えばルールの競合になる。実際の設計では、入力が欠けている場合や不正な金額も、エラーとして扱う条件を決める。
IBMの決定表の説明でも、ルールを重ねず、できる限り完全にすることを勧めている。数学で全マスを確かめる習慣は、条件分岐やテスト項目の抜けを点検する力にもつながる。

「同時に2個取り出す」ときは、同じ玉を2回選べない。どの2個の組も同じように選ばれるなら、戻さずに1個ずつ取り、最後に順序を無視する数え方で扱える。白玉を白1、白2、赤玉を赤1とすると、組は「白1・白2」「白1・赤1」「白2・赤1」の3通りで、両方白の確率は \( \displaystyle \frac{1}{3} \) である。順序付きなら全6通りのうち両方白が2通りなので、同じ答えになる。
戻さない場合は、全体の個数だけでなく、当たりに相当する個数も変わり得る。白を1個取った後なら、袋には白1個・赤1個が残る。次の確率は、何を取り出した後なのかまで含めて考えよう。

身近なシステム設計では、コンサートの座席予約を考えるとよい。残り3席から1席を予約したら、次の人が選べるのは2席である。同じ席を選択肢に残せば二重予約になる。キャンセルで席を販売に戻せば、選べる席は再び3席になる。「もどす・もどさない」と同じく、操作後の状態を正しく更新する必要がある。
画面には残り3席と表示されていても、複数の人が同時に予約できるなら、確定時点で空席を確認し、一つの席を一人だけが確保できる仕組みが必要になる。また、通信が途切れて予約ボタンを押し直した場合は、同じ予約を二重に作らない工夫も要る。同じ依頼を繰り返しても結果を重ねない性質を、冪等 （べきとう） 性という。
AWSの冪等性の説明でも、再試行によって処理が重複する問題と、その対策が紹介されている。これは予約設計へ応用できる考え方である。「対象はいくつ残るか」「同じ操作をやり直したらどうなるか」を図で追う習慣が、設計の誤りを見つける助けになる。

同じ大きさの白玉2個と赤玉1個を袋に入れる。各玉が同じように選ばれるように混ぜ、1個取るとする。色は白・赤の2種類でも、白の確率と赤の確率が半分ずつになるわけではない。白は2個分、赤は1個分の選ばれ方を含むからである。
白玉に「白1」「白2」、赤玉に「赤1」と頭の中で番号を付けると、同様に確からしい3通りが見える。番号は玉の確率を変える道具ではなく、すでにある別々の玉を数え落とさないための目印である。
同じ大きさだけで公平さが保証されるわけではない。形、重さ、混ぜ方などに偏りがなく、各玉が等しく選ばれるという条件の下で考える。

上の樹形図は、最初に3本、次に各枝から残った2本を出す定型パターンである。各末端の確率は \( \displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6} \)。2個とも白は2通りなので \( \displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \) となる。
一方、色だけでまとめた「白白・白赤・赤白」は、順に2通りずつを含むため、この例ではそれぞれ \( \displaystyle \frac{1}{3} \) である。しかし、最初に白1・白2をまとめて「白」の枝を1本にすると、その枝の確率は \( \displaystyle \frac{2}{3} \)、赤の枝は \( \displaystyle \frac{1}{3} \) となり、枝を同じ重みでは数えられない。
色でまとめること自体が誤りなのではない。等しい確率の基本的な場合を、同じ重みで数えているかが大切なのである。慣れるまでは同じ色の玉にも番号を振り、枝の本数、残った玉、末端の総数を確かめよう。

• 中学校学習指導要領（2017年告示）解説 数学編：文部科学省
• Documenting the decision logic：IBM
• Ensuring idempotency in Amazon EC2 API requests：AWS