2.3 わり算と余り（小学3年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \TeX \)表記
4. \( \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：大きな数と概数（小学3～4年）
10. コラム：余りは次のまとまりへの手掛かり
11. コラム：CPUにおける乗算・除算
12. 参考サイト

場面	表示	\( \TeX \)表記
12個を3人で等分する	\(12\div3=4\)	12 \div 3 = 4
12個から3個ずつ取る	\(12\div3=4\)	12 \div 3 = 4
23個を5個ずつ分ける	\(23\div5=4\mathbin{\ldots}3\)	23 \div 5 = 4 \mathbin{\ldots} 3
答えを確かめる	\(5\times4+3=23\)	5 \times 4 + 3 = 23

わり算の記号 \(\div\) は \div で表す。例えば \( 20 \div 4 = 5 \) は \(20\div4=5\) と表示される。
余りは日本の教科書で「…」や「あまり」を使って表すことが多い。本項では、演算記号として適切な間隔を取る \mathbin{\ldots} を使い、\( 23 \div 5 = 4 \mathbin{\ldots} 3 \) と記述する。文章で「商は4、余りは3」と書けば、意味をさらに明確にできる。 \[ 23 \div 5 = 4 \mathbin{\ldots} 3 \]

\div は「ディヴ」または「ディバイド」と読み、除算記号 \(\div\) を表示する命令である。\ldots は「エル・ドッツ」と読み、行の下寄りに三つの点を並べる。\mathbin{...} は中身を二項演算子として扱い、前後に適切な間隔を付ける命令である。
\(23\div5=4\mathbin{\ldots}3\) では、23が割られる数、5が割る数、4が商、3が余りである。答えは \(5\times4+3=23\) で確かめられる。

\( \TeX \)表記	読み方	意味
\div	ディヴ／ディバイド	除算記号 \(\div\)
\ldots	エル・ドッツ	下寄りの三点リーダー
\mathbin{...}	マス・ビン	中身を二項演算子として扱う
\times	タイムズ	答えの確認に使う乗算記号 \(\times\)

全角の「÷」を直接入力する

数式中では全角文字ではなく \div を使う。命令の前には半角のバックスラッシュが必要である。

割られる数と割る数を逆にする

「24個を5人に分ける」式は \(24\div5\) であり、\(5\div24\) ではない。最初に全部の数を書く。

余りが割る数以上になる

\(23\div5=3\mathbin{\ldots}8\) では、余り8からさらに5を一まとまり取れる。正しくは \(23\div5=4\mathbin{\ldots}3\) で、余りは必ず割る数より小さい。

余りを商へ付け足す

\(23\div5\) の答えを43とは書かない。商4と余り3は役割の異なる数であり、「4あまり3」と区別する。

確かめ算で余りを足し忘れる

余りのあるわり算は「割る数×商＋余り＝割られる数」で確かめる。

次の問題を解き、式を\( \TeX \)表記で記述する。

1. 18枚のカードを3人に同じ数ずつ分ける。1人分は何枚か。
2. 26個のボールを4個ずつ袋に入れる。何袋でき、何個余るか。
3. \(31\div6\) の商と余りを求める。
4. \(37\div5=7\mathbin{\ldots}2\) が正しいことを、かけ算とたし算で確かめる。

解答例

1. \(18\div3=6\) で、1人分は6枚である。

   解答1の\( \TeX \)表記コピー

   \( 18 \div 3 = 6 \)

2. \(26\div4=6\mathbin{\ldots}2\) で、6袋でき、2個余る。

   解答2の\( \TeX \)表記コピー

   \( 26 \div 4 = 6 \mathbin{\ldots} 2 \)

3. \(31\div6=5\mathbin{\ldots}1\) で、商は5、余りは1である。

   解答3の\( \TeX \)表記コピー

   \( 31 \div 6 = 5 \mathbin{\ldots} 1 \)

4. 割る数5に商7を掛け、余り2を足すと37になる。

   解答4の\( \TeX \)表記コピー

   \( 5 \times 7 + 2 = 37 \)

小学校第3学年の算数では、学習指導要領の「A 数と計算」で除法を扱う。除法が用いられる場合とその意味を理解し、除法を式に表したり、式を具体的な場面と結び付けて読み取ったりする。また、除法と乗法や減法との関係を理解し、除数と商が共に1位数である除法を計算する。余りのある場合も含まれる。
本項は、等分する場合と幾つ分取れるかを求める場合、余りのあるわり算、乗法を使う答えの確認に対応する。\( \TeX \)表記は学習指導要領の学習内容ではなく、そこで学ぶ式をコンピュータ上で正確に表示する技術として扱う。

次項では、小学3～4年で学ぶ大きな数と概数を取り上げる。万、億、兆までの数の仕組みと位取りを確認し、四捨五入による概数、概数の範囲、和や差の見積もりを\( \TeX \)表記とともに紹介する。

余りは、単に「使わずに残った数」とは限らない。例えば、4人掛けのベンチに23人が座るとき、\(23\div4=5\mathbin{\ldots}3\) である。5脚を満席にしても3人が残るため、全員が座るにはもう1脚必要であり、ベンチは6脚用意する。箱、車、部屋など、全員や全部を収める問題でも同じ考え方を使う。
一方、23個の菓子を4個ずつ袋に入れ、「4個入りの袋はいくつできるか」と問われれば、できるのは5袋で3個余る。計算が同じでも、求めるものによって商をそのまま使うか、1を加えるかが変わる。式の後で、商と余りが場面の何を表すかを言葉で確かめることが大切である。

コンピュータの中心にあるCPUも、かけ算やわり算を一気に計算しているわけではない。1978年（昭和53年）に発表され、パソコンの標準となった 8086 というCPUには、かけ算専用・わり算専用の回路が入っていなかった。できるのは、たし算とひき算、そして数の桁をずらすことだけである。それでもかけ算やわり算の命令が使えたのは、CPUの中に「桁をずらしながら、たし算やひき算を何十回も繰り返す手順」が組み込まれていたからだ。人が筆算でやっていることと、考え方は同じである。

わり算の手順は、本項で学んだ内容とよく似ている。CPUは上の桁から順に「ここで割る数を引けるか」を試し、引ければその桁の商を1、引けなければ0として、引いた残りを次の桁へ送る。2進数で16桁分これを繰り返すと商がそろい、最後に手元に残った数がそのまま余りになる。CPUにとって、商と余りは別々に求めるものではなく、同じ手順から一組で出てくる答えである。「割る数×商＋余り＝割られる数」という確かめ方も、CPUの中で成り立っている。なお、0で割ろうとしたときは計算を始めず、エラーとして処理を止める。

この繰り返しには時間がかかる。8086では、たし算にかかる時間を1とすると、かけ算はその約40倍、わり算は約50倍を必要とした。1980年代のゲームで動きがぎこちなくなることがあったのは、こうした事情も関係している。その後のCPUは、かけ算・わり算を専用の回路で行うようになり、1980年代半ばには数分の一の時間で計算できるようになった。今のCPUではさらに速く、たし算との差を意識することはほとんどない。くわしくは「8086は x86アーキテクチャの元祖」で紹介している。

• 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
• Support Table：KaTeX