2.6 分数と帯分数（小学2〜6年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \displaystyle \TeX \)表記
4. \( \displaystyle \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：分数の計算（小学3～6年）
10. コラム：分数でつまづく小学生が多いわけ
11. 参考サイト

内容	表示	\( \displaystyle \TeX \)表記
分数	\( \displaystyle \frac{3}{5} \)	\frac{3}{5}
帯分数	\( \displaystyle 2\frac{1}{3} \)	2\frac{1}{3}
帯分数から仮分数	\( \displaystyle 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \)	2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}
約分	\( \displaystyle \frac{6}{8}=\frac{3}{4} \)	\frac{6}{8} = \frac{3}{4}
通分	\( \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12} \)	\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12}
乗法	\( \displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21} \)	\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}
除法	\( \displaystyle \frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{6} \)	\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}

分数 \( \displaystyle \frac{a}{b} \) は \frac{a}{b} と書く。上の \( \displaystyle a \) が分子、下の \( \displaystyle b \) が分母であり、分母は0にできない。分子が分母より小さい \( \displaystyle \frac{3}{5} \) は真分数、分子が分母以上の \( \displaystyle \frac{7}{5} \) は仮分数である。整数と真分数を組み合わせた \( \displaystyle 1\frac{2}{5} \) は帯分数で、整数と分数の間に演算記号を置かない。
帯分数 \( \displaystyle 2\frac{1}{3} \) を仮分数に直すと、\( \displaystyle \frac{2\times3+1}{3}=\frac{7}{3} \) となる。反対に \( \displaystyle \frac{7}{3} \) は \( \displaystyle 7\div3=2 \) 余り \( \displaystyle 1 \) から \( \displaystyle 2\frac{1}{3} \) と表せる。帯分数は量を捉えやすく、仮分数は計算しやすいという違いがある。

分子と分母を同じ0でない数で割って簡単にすることを約分という。例えば \( \displaystyle \frac{12}{18}=\frac{2}{3} \) である。異なる分母を共通の分母へそろえることを通分といい、\( \displaystyle \frac{1}{3}=\frac{4}{12} \)、\( \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{3}{12} \) とすれば加減算や大小比較ができる。
分数の乗法は分子同士、分母同士を掛ける。除法は割る数の分子と分母を入れ替えた逆数を掛ける。途中で約分すると数を小さく保てる。独立した大きな数式には \dfrac を使うと、分子と分母を大きく表示できる。

\( \displaystyle \TeX \)表記	読み方	意味
\frac{a}{b}	フラクション	分子 \( \displaystyle a \)、分母 \( \displaystyle b \) の分数を作る
\dfrac{a}{b}	ディスプレイ・フラクション	行内でも大きい表示形式の分数を作る
\times	タイムズ	乗算記号 \( \displaystyle \times \)
\div	ディバイド	除算記号 \( \displaystyle \div \)
\cdot	センタード・ドット	乗算を表す中央の点 \( \displaystyle \cdot \)
\neq	ノット・イコール	等しくない \( \displaystyle \neq \)

分母と分子を足す

\( \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \) であり、\( \displaystyle \frac{2}{6} \) ではない。同分母では分母を変えずに分子を足す。

異分母のまま分子だけを足す

\( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \) は6分のいくつかに通分し、\( \displaystyle \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \) とする。

帯分数を掛け算と読む

\( \displaystyle 2\frac{1}{3} \) は \( \displaystyle 2+\frac{1}{3} \) の意味であり、\( \displaystyle 2\times\frac{1}{3} \) ではない。

分子だけを約分する

約分では分子と分母を同じ数で割る。\( \displaystyle \frac{6}{8} \) は両方を2で割って \( \displaystyle \frac{3}{4} \) とする。

分数の除法で両方を逆数にする

逆数にするのは割る数だけである。\( \displaystyle \frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4} \) とする。

分母を0にする

0個に等分することはできないので、\( \displaystyle \frac{a}{0} \) は通常の数として定義されない。

解答例

1. \( \displaystyle \frac{9}{4}=2\frac{1}{4} \)
2. \( \displaystyle 3\frac{2}{5}=\frac{3\times5+2}{5}=\frac{17}{5} \)
3. \( \displaystyle \frac{18}{24}=\frac{3}{4} \)
4. \( \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{8}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}=\frac{31}{24}=1\frac{7}{24} \)
5. \( \displaystyle \frac{3}{4}\times\frac{10}{9}=\frac{5}{6} \)
6. \( \displaystyle \frac{5}{6}\div\frac{10}{3}=\frac{5}{6}\times\frac{3}{10}=\frac{1}{4} \)

小学校第2学年の算数「A 数と計算」では、\( \displaystyle \frac{1}{2} \) や \( \displaystyle \frac{1}{3} \) など簡単な分数を具体物と結び付ける。第3学年では分数の意味や表し方、大小、簡単な同分母分数の加法・減法を扱う。第4学年では真分数・仮分数・帯分数、等しい分数、同分母分数の加法・減法について理解を深める。
第5学年では整数や小数を分数で表し、約分・通分、異分母分数の加法・減法、乗数や除数が整数の場合の乗法・除法へ進む。第6学年では分数を掛ける乗法と分数で割る除法を学び、計算の意味や性質を図や式と結び付ける。\( \displaystyle \TeX \)表記は学習指導要領の学習内容ではなく、分数を正確に記録するための発展的な話題である。

次項では、分数の加法・減法・乗法・除法を取り上げる。同分母と異分母の加減算、約分と通分、逆数を用いる除法までを学年ごとにたどり、途中式を読みやすく表す\( \displaystyle \TeX \)表記を紹介する。

また、\( \displaystyle \frac{3}{4} \) は「全体を4等分した3個分」であると同時に、\( \displaystyle 3\div4 \) の商、二つの量の比、数直線上の位置、ある量を \( \displaystyle \frac{3}{4} \) 倍する操作も表す。ピザの塗り分けだけで分数を理解すると、数直線、仮分数、割合へ学習が広がったとき、それらを同じ数として結び付けにくい。

分数では「何を1とするか」も重要である。ケーキ1個の半分と、ケーキ2個を一まとまりとした半分では量が異なる。基準となる1が曖昧なままでは、分数の大小や文章問題を正しく捉えられない。さらに、\( \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100} \) のように、異なる数字が同じ値を表すことも、表記が違えば別の数と考えやすい整数との大きな違いである。

計算規則も、加減算では通分し、乗算では分子同士と分母同士を掛け、除算では逆数を掛けるというように変化する。量としての意味を理解せずに手順だけを覚えると、規則が混ざりやすい。何を1とするかを確かめ、単位分数の何個分かを考え、数直線上へ置き、面積図・テープ図・割り算・数式を相互に変換してから計算へ進むと理解しやすい。分数は計算が難しいというより、整数中心の数の見方を広げる必要があるため難しいのである。

• 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
• Supported Functions：KaTeX
• Developmental changes in the whole number bias：Developmental Science
• A componential view of children's difficulties in learning fractions：Frontiers in Psychology
• Does Initial Learning about the Meaning of Fractions Present Similar Challenges for Students with and without Adequate Whole-Number Skill?：Learning and Individual Differences