2.7 分数の計算（小学3〜6年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \TeX \)表記
4. \( \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：単位――長さ、かさ、重さ、時間、速さ（小学1～6年）
10. コラム：分数でつまづく背景
11. コラム：理系大学生が分数計算を理解していない？
12. コラム：分数を表せるプログラミング言語
13. 参考サイト

内容	表示	\( \TeX \)表記
同分母の加法	\( \displaystyle \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7} \)	\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}
異分母の加法	\( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \)	\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
乗法	\( \displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21} \)	\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}
除法	\( \displaystyle \frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{6} \)	\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}

同分母分数の加法・減法では、分母を変えずに分子を計算する。\( \displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \) である。異分母の場合は、分母の最小公倍数などを共通分母として通分する。\( \displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \) なら、\( \displaystyle \frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12} \) となる。
分数の乗法では \( \displaystyle \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \) とする。計算途中で分子と分母の共通因数を消すと、大きな数を扱わずに済む。例えば \( \displaystyle \frac{3}{4}\times\frac{10}{9}=\frac{1}{2}\times\frac{5}{3}=\frac{5}{6} \) である。

除法では、割る数の逆数を掛ける。\( \displaystyle \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} \) である。ただし、割る数 \( \displaystyle \frac{c}{d} \) は0であってはならない。帯分数を含む計算では、先に仮分数へ直す。整数を含むときは \( \displaystyle 3=\frac{3}{1} \) のように分母1の分数と考えられる。
計算後は約分し、必要に応じて仮分数を帯分数に直す。式変形では等号の左右が常に同じ値であることを確かめる。\fracの波括弧には分子と分母をそれぞれまとめて書く。

\( \TeX \)表記	読み方	意味
\frac{a}{b}	フラクション	分子 \( a \)、分母 \( b \) の分数を作る
\times	タイムズ	乗算記号 \( \times \) を表示する
\div	ディバイド	除算記号 \( \div \) を表示する
\cdot	センタード・ドット	乗算を表す中央の点 \( \cdot \) を表示する

分母同士を足す

\( \displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \) であり、\( \displaystyle \frac{3}{10} \) ではない。

異分母のまま分子だけを足す

\( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \) は通分して \( \displaystyle \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \) とする。

加法でも分子同士と分母同士を計算する

\( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \) と \( \displaystyle \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} \) の規則を混同しない。

除法で最初の分数を逆数にする

逆数にするのは割る数だけである。

斜めの数を加法で約分する

積を作る乗法と異なり、加法の項をまたいで数を消してはならない。

帯分数のまま乗除する

帯分数は仮分数へ直してから計算する。

解答例

1. \( \displaystyle \frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \)
2. \( \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12} \)
3. \( \displaystyle \frac{7}{10}\times\frac{15}{14}=\frac{3}{4} \)
4. \( \displaystyle \frac{3}{5}\div\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}=\frac{2}{3} \)
5. \( \displaystyle 1\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6} \)

小学校第3学年の算数「A 数と計算」では、分数の意味と表し方を知り、簡単な同分母分数の加法・減法を扱う。第4学年では真分数、仮分数、帯分数と等しい分数を学び、同分母分数の加法・減法について理解を深める。
第5学年では約分と通分を基礎として、異分母分数の加法・減法を扱う。第6学年では分数の乗法・除法へ進み、計算の意味や性質を図、式、数直線などと関連付ける。アルゴリズムを覚えるだけでなく、単位分数や演算の意味を説明できることも重視される。

次項では、長さ、かさ、重さ、時間、速さの単位を取り上げる。単位換算と数量の関係を整理し、単位を添えた読みやすい\( \TeX \)表記を紹介する。

「分数の意味」がつかめない壁（小学3～4年）

分数は小数より早く登場するため、「数は1、2、3のように増えていくもの」という感覚が強い段階で、1より小さい数を捉える必要がある。また、「全体を1とする」ときの全体は、いつも一つの物とは限らない。ケーキ1個を3等分する場面は想像しやすいが、8個のみかん全体を1と見て、その \( \displaystyle \frac{1}{4} \) が2個であると考える場面では、単位となる全体を見失いやすい。分数では、書かれた整数の大きさだけで量を比べられない。単位分数 \( \displaystyle \frac{1}{n} \) は、分母 \( n \) が大きくなるほど1つ分が小さくなる。分母を「分けた数」、分子を「その何個分」として図に対応させることが重要である。

「通分・約分・異分母計算」の壁（小学5年）

加法で分母同士まで足し、\( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5} \) としてしまう誤りがある。分母の異なる分数は、同じ大きさの単位分数へそろえなければ足せない。通分には小学5年で学んだばかりの倍数と公倍数を、約分には公約数と最大公約数を応用するため、前提となる整数の知識が不安定だと処理の負担が大きくなる。答えが出ても約分を忘れる場合は、分子と分母の共通因数を探す習慣を付けたい。

「分数の掛け算・割り算」の壁（小学6年）

自然数だけを扱った経験から、「掛ければ大きくなり、割れば小さくなる」と思い込みやすい。しかし、\( \displaystyle \frac{1}{2} \) を掛けることは半分にすることであり、1より小さい数を掛けると積は元の数より小さくなる。また、除法を「割る数の分子と分母を入れ替えて掛ける」という手順だけで暗記すると、その意味を説明できず、文章題でどちらをどちらで割るか判断できなくなる。

分数でつまずかないために

計算手順の反復だけでなく、テープ図、数直線、ピザの絵、分数カードなどを使い、「全体は何か」「1つ分はどれだけか」「何個分あるか」を視覚的に確かめることが不可欠である。式、言葉、図、具体物を行き来できるようになると、通分や逆数も意味のある操作として理解しやすくなる。

「理系大学生でも分数計算ができない」という話を耳にすることがある。基礎計算につまずく大学生が一定数いることや、大学で数学の補習が行われていることは事実である。しかし、単純な分数の四則計算ができない理系新入生の割合を示す、現在の全国一斉調査は見当たらない。「理系大学生の多くができない」とまで一般化するのは適切でない。
第一回 大学生数学基本調査報告書は、2011年（平成23年）に48大学の新入生5,946人を対象として、小中学校から数学Iまでの基礎的な数学力を調べた。対象には文系も含まれ、中心となる設問は論理、平均、関数、作図などであるため、これを「理系学生の分数計算の全国正答率」と読むことはできない。

また、リメディアル教育を実施する大学・学科が多いことは、学生全員の不得意を意味しない。高大接続に関する調査では、リメディアル教育を実施している学科が扱う教科のうち数学は62.4％であったが、これは学生の62.4％が分数を計算できないという数字ではない。
「分数ができない」も、単純な数の通分ができない、符号を間違える、文字を含む分数式を整理できない、計算手順は知っていても意味を説明できない、という異なる状態を含む。したがって、一部の学生には基礎の学び直しが必要である一方、大学、学部、入試方式、設問の難しさを区別せず「理系大学生は分数ができない」と断定してはならない。

コンピュータの小数は一般に浮動小数点数であり、\( 0.1 \) のような値を2進数で有限桁に表せない場合がある。分子と分母を整数で保持する有理数型なら、\( \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \) を丸めずに計算できる。代表的な言語と機能は次の通りである。

1. Python：標準ライブラリの fractions.Fraction
2. Common Lisp：標準数値体系の ratio
3. Scheme：正確数としての有理数を扱える処理系
4. Clojure：整数同士の除算から ratio を作れる
5. Raku：標準の Rat 型
6. Julia：Rational 型を 1//3 の形で生成
7. Ruby：標準ライブラリで利用できる Rational
8. Haskell：Data.Ratio の Ratio 型

組み込み型、標準ライブラリ、外部パッケージのどこまでを「言語が表せる」と呼ぶかには違いがある。また、有理数型では計算を重ねると分子と分母が巨大になる場合がある。

Pythonでは次のように Fraction を使う。整数二つから生成すれば、約分、通分、四則計算が自動的に行われる。

小数の文字列からも Fraction("0.1") のように生成でき、この値は正確に \( \displaystyle \frac{1}{10} \) となる。一方、すでに2進浮動小数点数となった 0.1 を渡すと、その近似値を正確な分数として取り込むため、分子と分母が大きくなる。正確な十進値が必要なら、整数の組または文字列から生成するのが安全である。

• 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
• 第一回 大学生数学基本調査報告書：日本数学会
• 高大接続に関する調査：ベネッセ教育総合研究所
• fractions — Rational numbers：Python Software Foundation
• Rational Numbers：The Julia Language
• Rational：Raku Documentation
• Type RATIO：Common Lisp HyperSpec