2.14 平均とデータ（小学5〜6年）

記録を表とグラフに整理して、データの特徴を調べる
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毎日の読書時間や植物の高さを比べるとき、値が一つずつ異なるだけでは全体の特徴をつかみにくい。平均は、合計した量を同じ大きさになるよう分け直した値であり、データを代表する一つの目安になる。しかし、平均だけでは分布の偏りや極端な値を見落とすこともある。
この項では、平均を「合計÷個数」として捉え、平均から合計を求める方法を学ぶ。さらに、度数分布表、柱状グラフ、ドットプロット、中央値、最頻値を用いてデータの特徴を読み取り、それらを明確に示す\( \TeX \)表記を紹介する。

本項で扱う範囲
教科書で見かける式
\( \TeX \)表記
統計グラフの種類
TikZとPGFPlotsによるグラフ表記
\( \TeX \)命令の読み方と意味
よくある間違い
コピーして使える例
練習問題
学習指導要領上の位置づけ
次項：文字を使った式（小学4～6年）
コラム：平均だけでは見えないこと
コラム：平均値・中央値・最頻値
コラム：グループ全体の平均（加重平均）の誤解
コラム：Excelのaverage関数
参考サイト

本項で扱う範囲

本項の要点

小学5年平均の意味を理解し、合計と個数から平均を求める

小学5年平均を用いて、全体の量を見積もる

小学6年度数分布表、柱状グラフ、ドットプロットでデータを整理する

代表値平均値、中央値、最頻値を比べ、目的に合う値を選ぶ

\( \TeX \)\frac、\sum、\bar{x}、\begin{array} を使う

教科書で見かける式

内容	表示	意味
平均	\( \displaystyle \frac{12+15+18}{3}=15 \)	合計を個数で割る
合計の推定	\( 15\times20=300 \)	平均と個数から合計を求める
平均値	\( \displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \)	\( n \) 個のデータの合計を \( n \) で割る
中央値	\( 10,15,[15],20,40 \)	順に並べた中央の値は15
最頻値	\( \operatorname{mode}=15 \)	最も多く現れる値は15
度数	\( \displaystyle \sum f_i=20 \)	各階級の度数の合計はデータの総数

\( \TeX \)表記

平均は、いくつかの量を合計し、その個数で割って求める。3日間の読書時間が12分、15分、18分なら、平均は \( \displaystyle \frac{12+15+18}{3}=15 \) 分である。これは、合計45分を3日へ等しく分け直した値と考えられる。平均が15分で20日間続けたとみなせば、合計は \( 15\times20=300 \) 分と見積もれる。
データを \( x_1,x_2,\dots,x_n \) とすると、平均値は \( \displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \) と表せる。記号 \( \bar{x} \) は「エックス・バー」と読み、平均値を表す。小学校ではこの一般式を覚える必要はないが、多くのデータにも同じ考え方が使えることを簡潔に示せる。

小学6年では、データを大きさの順に並べ、同じ値がいくつあるかを調べる。中央に位置する値が中央値、最も多く現れる値が最頻値である。データの個数が偶数なら、中央の二つの値の平均を中央値とする。例えば \( 8,10,14,20 \) の中央値は \( \displaystyle \frac{10+14}{2}=12 \) である。
値を一定の幅で区切った範囲を階級、その範囲に入るデータの個数を度数という。度数分布表はデータの散らばりを整理し、柱状グラフは各階級の度数を棒の高さで表す。代表値だけでなく、範囲、山の位置、左右の偏り、極端な値にも着目すると、データの特徴をより正確に説明できる。

統計グラフの種類

データは目的に合うグラフへ整理する。小学3年では項目ごとの数量を棒の長さで比べる棒グラフ、小学4年では時間に伴う変化を線で結ぶ折れ線グラフを学ぶ。小学5年では全体に対する各部分の割合を帯グラフや円グラフで表す。

小学6年では、個々の値を点で積み上げるドットプロット、値を階級に分けて個数をまとめる度数分布表、各階級の度数を柱で表す柱状グラフを扱う。分布を代表する値として平均値、小さい順に並べた中央の中央値、最も多く現れる最頻値を明示し、グラフの形や散らばりと併せて判断する。

学年	表し方	読み取ること
小学3年	棒グラフ	項目ごとの数量の大小
小学4年	折れ線グラフ	時間に伴う変化と増減
小学5年	帯グラフ・円グラフ	全体を1とした各部分の割合
小学6年	ドットプロット・度数分布表・柱状グラフ	データの分布、中心、散らばり

TikZとPGFPlotsによるグラフ表記

通常のLaTeXで作図し、WebPへ変換した統計グラフ

本サイトのKaTeXは数式表示を目的としており、TikZ や PGFPlots によるグラフ描画には対応しない。一方、通常のLaTeX環境では、TikZとPGFPlotsを使って軸、目盛り、棒、折れ線を座標から作図できる。本項ではコードをLaTeXでコンパイルし、結果をSVGまたはWebPへ変換して画像として表示する。

PGFPlotsによる棒グラフ

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ybar,xlabel={点数},ylabel={人数},xtick=data]
\addplot coordinates {(40,1) (50,1) (60,7) (70,4) (80,2) (90,2) (100,3)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

PGFPlotsによる折れ線グラフ

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel={月},ylabel={平均点},xtick={1,2,3,4,5}]
\addplot[color=blue,mark=*] coordinates {(1,62) (2,68) (3,71) (4,75) (5,80)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\( \TeX \)命令の読み方と意味

\( \TeX \)表記	読み方	意味
`\frac{a}{b}`	フラクション	分子 \( a \)、分母 \( b \) の分数を作る
`\bar{x}`	バー・エックス	\( x \) の上に横線を付け、平均値 \( \bar{x} \) を表す
`\sum`	サム	合計を表す記号 \( \displaystyle \sum \) を表示する
`\cdots`	センター・ドッツ	式の中央に省略記号 \( \cdots \) を表示する
`\operatorname{mode}`	オペレーター・ネーム	最頻値を表す語 mode を立体で表示する
`\begin{array}`	アレイ	データや度数を行と列にそろえる

よくある間違い

合計を違う個数で割る: 平均は、合計に使ったデータの個数で割る。欠席者や記録なしを含めるかどうかを先に確かめる。

平均を実際に存在する値だと考える: 平均は等しく分け直した代表値なので、実際のデータに同じ値がなくてもよい。

0を記録なしとして除く: 0が実際の測定値なら個数にも合計にも含める。未測定を表す空欄とは区別する。

平均を求めるとき単位をそろえない: 1分30秒と80秒を平均するなら、90秒と80秒のように同じ単位へ直してから計算する。

中央値を並べ替えずに選ぶ: 中央値はデータを小さい順または大きい順に並べてから中央を選ぶ。

偶数個の中央値を中央の片方にする: データが偶数個なら中央の二つの値の平均を求める。

最頻値は必ず一つだと考える: 同じ最大度数を持つ値が複数ある場合も、最頻値がない場合もある。

平均だけで二つの集団を同じと判断する: 平均が同じでも散らばりや分布は異なるため、表やグラフも比較する。

コピーして使える例

平均の計算

\( \displaystyle \frac{12 + 15 + 18}{3} = 15 \)

平均値の一般式

\( \displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \)

偶数個の中央値

\( \displaystyle \frac{10 + 14}{2} = 12 \)

度数分布表

\( \begin{array}{c|rrrr} \text{階級（分）} & 0\text{～}10 & 10\text{～}20 & 20\text{～}30 & 30\text{～}40 \\ \hline \text{度数（人）} & 2 & 5 & 4 & 1 \end{array} \)

練習問題

次の問題を解き、必要な式を\( \TeX \)表記で記述する。

5日間の読書時間が12分、18分、15分、20分、10分であった。平均を求める。
1個の重さが平均120 gのりんごが8個ある。全体の重さを見積もる。
データ \( 3,7,5,7,8,7,4 \) の平均値、中央値、最頻値を求める。
データ \( 6,10,12,18 \) の中央値を求める。
A組の得点は \( 40,50,60,70,80 \)、B組の得点は \( 58,59,60,61,62 \) である。平均を求め、散らばりの違いを説明する。

解答例

\( \displaystyle \frac{12+18+15+20+10}{5}=15 \) より15分
\( 120\times8=960 \) より約 \( 960\,\mathrm{g} \)
小さい順は \( 3,4,5,7,7,7,8 \)。平均値は \( \displaystyle \frac{41}{7}=5\frac{6}{7} \)、中央値は7、最頻値は7
\( \displaystyle \frac{10+12}{2}=11 \)
どちらも平均は60点である。A組は40～80点に広がり、B組は58～62点に集まっている。

学習指導要領上の位置づけ

小学校算数の第5学年「D データの活用」では、測定値の平均について、その意味と求め方を理解し、平均を用いて全体の量を見積もる。平均を単なる計算手順とせず、幾つかの数量を同じ大きさに均した値として捉え、目的に応じて活用する。
第6学年では、目的に応じてデータを集め、ドットプロットや度数分布表などへ整理し、代表値やデータの散らばりに着目して考察する。結論が妥当かを批判的に検討する態度も重視される。これらは中学校数学で学ぶヒストグラム、相対度数、範囲、四分位範囲などの統計学習へつながる。

次項：文字を使った式（小学4～6年）

次項では、□、△、\( x \)、\( a \) などを使って数量の関係を式に表す方法を学ぶ。文字へ数を当てはめる方法や、文字式を読みやすく表す\( \TeX \)表記も紹介する。

コラム：平均だけでは見えないこと

統計では、多数のデータをそのまま眺めるだけでなく、平均値、中央値、最頻値などの代表値へまとめて全体の特徴を捉える。代表値は比較や説明をしやすくする一方、異なるデータを一つの数へ丸めるため、個々の違い、散らばり、偏り、少数の例外などが「見えないこと」になる。代表値はデータ全体の代わりではなく、ある一面を要約した値である。

例えば \( 10,15,15,20,40 \) の平均値は20、中央値と最頻値は15である。40という大きな値が平均を押し上げるため、平均値20だけを見ると、多くのデータが15付近にあることが見えにくい。このように、他の値から大きく離れた値を外れ値と呼ぶことがある。平均が同じ二つの集団でも、一方は平均付近に集まり、もう一方は広く散らばっている場合がある。

合計を公平に分け直した値や、全体量の推定に使う値が必要なら平均値が適している。靴の売れ筋のサイズを知りたいなら最頻値、通学時間の中央的な児童を知りたいなら中央値が役立つ。どの代表値が正しいかを一律に決めるのではなく、何を知りたいのか、代表値に丸めたことで何が見えなくなったのかを問い、元のデータ、表、グラフ、散らばり、外れ値も併せて確かめることが大切である。

代表値	求め方	向いている場面
平均値	合計÷個数	全体を均した値や合計の見積もり
中央値	順に並べた中央	外れ値の影響を小さくしたい比較
最頻値	最も多く現れる値	最も典型的な値や売れ筋の把握

コラム：平均値・中央値・最頻値

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クラスのテスト得点について、横軸を点数、縦軸を人数とする頻度グラフを考える。棒の凹凸をなくし、全区間で同じ高さにしたときに求まるのは、平均点ではなく「得点区分当たりの平均人数」である。
平均点は、それぞれの棒を重さとみなしたとき、グラフ全体が得点方向につり合う支点の位置として表せる。

中央値は、低い得点から人数を数え、全員を前半と後半に分ける位置である。グラフでは、棒が表す人数の合計を左右半分ずつに分ける垂直線として示せる。横軸の長さを半分にするのではなく、左右の人数を半分にする点に注意する。20人なら、小さい方から10番目と11番目の得点の平均が中央値である。

最頻値は、人数が最も多い得点、すなわち最も高い棒の位置である。得点を「60点以上70点未満」のような階級にまとめた場合は、最も高い棒の範囲を最頻階級という。元の得点が残っていなければ、その階級内のどの点が最頻値かまでは分からない。

代表値	頻度グラフ上の表し方
平均値	全ての棒を重さとみなしたときのつり合う位置
中央値	棒が表す人数の合計を左右半分に分ける位置
最頻値	最も高い棒がある位置
棒を同じ高さにならす	得点の平均ではなく、得点区分当たりの平均人数

コラム：グループ全体の平均（加重平均）の誤解

小学6年の応用問題では、人数の異なるグループの平均をまとめるときにつまずきやすい。例えば「男子20人の平均が60点、女子10人の平均が90点。全体の平均は何点か」という問題で、\( (60+90)\div2=75 \) 点とする誤りがある。これは二つの平均を同じ重さで扱い、人数の違いを無視している。

対処するときは、一度「合計点の世界に戻る」と考える。男子の合計点は \( 60\times20=1200 \) 点、女子の合計点は \( 90\times10=900 \) 点である。したがって、全体の合計点は \( 1200+900=2100 \) 点、全体の人数は \( 20+10=30 \) 人となる。全体の平均は \( 2100\div30=70 \) 点である。

このように、人数を重みとして平均をまとめる方法を加重平均という。式では \( \displaystyle \frac{60\times20+90\times10}{20+10}=70 \) と表せる。「平均同士を足すのではなく、全員の合計点÷全員の人数でやり直そう」と声を掛けると、平均の意味へ戻って考えられる。各グループの人数が等しい場合に限り、平均同士の単純な平均と全体平均が一致する。

グループ	平均点	人数	合計点
男子	60点	20人	1200点
女子	90点	10人	900点
全体	70点	30人	2100点

コラム：Excelのaverage関数

社会人になると、売上、作業時間、測定値、アンケート結果などをMicrosoft Excelで集計する機会が増える。そこでよく使うのがAVERAGE関数である。ただし、計算式を入力する前に、データの意味と単位をそろえなければならない。1時間30分と80分、2 kgと500 gのように異なる単位の値をそのまま同じ列へ入れると、Excelは単位の違いを判断せず、表示された数値として平均してしまう。

同じ範囲に数値だけが入り、エラー値がなければ、AVERAGE関数はSUM関数の結果をCOUNT関数の結果で割った値と同じになる。例えばA1からA5に \( 10,20 \)、空白、文字列「N/A」、\( 0 \) が入っているとする。=AVERAGE(A1:A5) は、空白と文字列を除外し、0を含む3個の数値を計算するため、平均は \( \displaystyle \frac{10+20+0}{3}=10 \) となる。=SUM(A1:A5)/COUNT(A1:A5) も \( 30\div3=10 \) となる。

セルの内容	`AVERAGE`の扱い	`SUM/COUNT`の扱い
数値	平均に含める	`SUM`で合計し、`COUNT`で数える
0	平均に含める	合計に含め、1個と数える
空白セル	除外する	`COUNT`では数えない
文字列「N/A」	除外する	`SUM`は加えず、`COUNT`は数えない
エラー値 `#N/A`	`#N/A`を返す	`SUM`が`#N/A`を返すため計算できない

文字列「N/A」とエラー値 \( \#\mathrm{N/A} \) は異なる。文字列は数値でないため範囲内では除外されるが、検索結果が見つからないときなどに生じるエラー値 \( \#\mathrm{N/A} \) が一つでも範囲にあると、AVERAGE関数は平均値を返さず、SUM関数も合計を返さない。エラーを除外するか、原因を直すかはデータの意味に基づいて判断する。また、COUNTA関数は文字列も数えるため、SUM÷COUNTA はAVERAGE関数と同じになるとは限らない。

AVERAGE関数

=AVERAGE(A1:A5)

SUM関数とCOUNT関数

=SUM(A1:A5)/COUNT(A1:A5)

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児童別に4教科の得点を並べる場合、欠席を0点として記録してはならない。0点は「受験して得点が0点」、欠席は「測定値がない」という異なる状態だからである。得点欄は空白にし、「受験」「欠席」「追試待ち」などを別の受験状況欄へ記録すると、未入力と欠席も区別できる。得点列へ「欠席」や「―」などの文字列を混在させず、数値列として保つと集計しやすい。

児童名	国語	算数	理科	社会	理科の受験状況
青木	75	82		68	欠席
石井	90	88	70	85	受験

青木の平均を =AVERAGE(B2:E2) で求めると、空白の理科を除いた3教科の平均75点になる。比較するときは「4教科平均」と誤解されないよう、=COUNT(B2:E2) で求めた受験教科数も併記する。総合成績として比べるなら、全教科の受験後に集計する、同じ教科だけで比較するなど、欠測値の扱いを先に決める必要がある。
Excelサンプルデータでは、欠席、追試待ち、実際の0点を区別した成績表と、AVERAGE、SUM、COUNT、COUNTAの違いを数式付きで確認できる。