2.17 場合の数（小学6年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \TeX \)表記
4. \( \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：計算のきまりと四則混合計算（小学4年）
10. コラム：順列・組合せの記号は発展内容
11. 参考サイト

問題	整理	答え
3枚のカードを並べる	最初3通り、次2通り、最後1通り	\( 3\times2\times1=6 \) 通り
4人から委員長と副委員長	委員長4通り、副委員長3通り	\( 4\times3=12 \) 通り
4人から2人を選ぶ	順序を区別しない	6組
表裏のある硬貨を2回投げる	表表、表裏、裏表、裏裏	\( 2\times2=4 \) 通り

3枚を並べるとき、最初の位置には3枚のどれか、次には残り2枚のどれか、最後には残った1枚が入るので、\( 3\times2\times1=6 \) 通りである。樹形図では、最初の選択から枝を分け、それぞれの枝で次の選択を分ける。全ての枝を同じ規則で最後まで伸ばすと落ちを防げる。

4人から2人を選ぶとき、AとBを選ぶこととBとAを選ぶことは同じ組である。一方、委員長A・副委員長Bと、委員長B・副委員長Aは役割が異なるため別の場合である。「順序や役割を区別するか」を最初に確かめることが、並べ方と組み合わせ方を見分ける要点である。

\( \TeX \)表記	読み方	意味
\times	タイムズ	選択肢の数を段階ごとに掛ける
n!	エヌの階乗	\( n\times(n-1)\times\cdots\times1 \)
{}_nP_r	エヌ・ピー・アール	異なる \( n \) 個から順序を付けて \( r \) 個を選ぶ順列
\binom{n}{r}	エヌからアールを選ぶ	順序を区別せず \( r \) 個を選ぶ組合せ

思い付いた順に書く

最初の選択を固定してから次を変えるなど、一定の順序で表や樹形図へ整理する。

同じ場合を二度数える

組み合わせ方ではA・BとB・Aを同じ組として一度だけ数える。

役割が違うのに同じ組とする

委員長と副委員長のように役割があれば、A・BとB・Aは別の場合である。

樹形図の枝を途中で止める

全ての枝を同じ段階まで伸ばし、各終点が一つの場合に対応することを確かめる。

公式だけを当てはめる

小学校では表や樹形図で意味を確かめる。順列・組合せの公式は発展内容である。

解答例

1. 赤青黄、赤黄青、青赤黄、青黄赤、黄赤青、黄青赤の6通り
2. \( 4\times3=12 \) 通り
3. AB、AC、AD、BC、BD、CDの6組
4. 123、132、213、231、312、321の6個

小学校第6学年の算数「D データの活用」では、起こり得る場合を順序よく整理して調べることを扱う。具体的な事柄について、落ちや重なりがないよう表や図を用いて分類・整理し、場合の数を求める。小学校では順列や組合せの一般公式を使うことより、整理の観点を決めて全ての場合を説明する過程を重視する。

次項では、交換法則、結合法則、分配法則と、括弧を含む四則混合計算の順序を整理する。計算のまとまりを明確に示す\( \TeX \)表記も紹介する。

\( n! \)、\( {}_nP_r \)、\( \displaystyle \binom{n}{r} \) は、たくさんの場合を短く表す便利な記号だが、小学校の必修範囲ではない。小学校では、カードを並べる、道順を選ぶ、人を組にするなどの具体的な場面を表や樹形図へ整理し、「なぜ落ちも重なりもないか」を説明できることが先である。

一般化すると、異なる \( n \) 個全てを並べる数は \( n! \)、\( n \) 個から順序を付けて \( r \) 個を選ぶ数は \( {}_nP_r \)、順序を区別せず \( r \) 個を選ぶ数は \( \displaystyle \binom{n}{r} \) と表す。これらは中学校・高等学校で学ぶ数え上げや確率へつながる発展的な見通しとして扱う。

• 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
• Supported Functions：KaTeX