2.12 割合と百分率（小学5年）

1. 本項で扱う範囲
2. 教科書で見かける式
3. \( \TeX \)表記
4. \( \TeX \)命令の読み方と意味
5. よくある間違い
6. コピーして使える例
7. 練習問題
8. 学習指導要領上の位置づけ
9. 次項：比（小学6年）
10. 単位量当たりの大きさ
11. コラム：割合という概念
12. コラム：百分率と百分率ポイント
13. 参考サイト

求める量	式	例
割合	比較量 ÷ 基準量	\( 30\div40=0.75 \)
比較量	基準量 × 割合	\( 800\times0.3=240 \)
基準量	比較量 ÷ 割合	\( 24\div0.6=40 \)
百分率	割合 × 100	\( 0.75\times100=75\% \)
小数	百分率 ÷ 100	\( 35\%\div100=0.35 \)
増加後	基準量 ×（1 + 増加率）	\( 2000\times1.1=2200 \)
減少後	基準量 ×（1 − 減少率）	\( 3000\times0.8=2400 \)

基準にする量を \( B \)、比べる量を \( C \)、割合を \( r \) とすると、三つの関係は \( \displaystyle r=\frac{C}{B} \)、\( C=B\times r \)、\( \displaystyle B=\frac{C}{r} \) と表せる。ただし、基準量 \( B \) は \( 0 \) ではないものとする。割合の式では、割られる数が比較量、割る数が基準量である。
例えば、全体 \( 40 \) 人のうち \( 30 \) 人が参加したとき、\( \displaystyle r=\frac{30}{40}=0.75 \) である。一方、参加者 \( 30 \) 人を基準にして欠席者 \( 10 \) 人を比べれば、割合は \( \displaystyle \frac{10}{30}=\frac{1}{3} \) になる。基準を先に言葉で確かめることが大切である。

百分率は、基準量を \( 100 \) としたときの比較量で割合を表す方法である。割合 \( 1 \) が \( 100\% \)、\( 0.01 \) が \( 1\% \) に当たるため、\( 0.75=75\% \)、\( 1.2=120\% \) である。割合は \( 1 \) 以下とは限らず、比較量が基準量を上回れば \( 100\% \) を超える。
歩合では、割合 \( 0.1 \) を一割、\( 0.01 \) を一分、\( 0.001 \) を一厘という。したがって、三割五分は \( 0.35=35\% \) である。「分」は分数の単位として使う場合と意味が異なるので、文脈を見て区別する。

増加や減少では、変化した分だけでなく変化後の全体を考える。元の量から \( 20\% \) 増えた量は、元の量を \( 1 \) として \( 1+0.2=1.2 \) 倍である。元の量から \( 20\% \) 減った量は \( 1-0.2=0.8 \) 倍である。例えば \( 3000 \) 円の品物を \( 20\% \) 引きにすると、代金は \( 3000\times(1-0.2)=2400 \) 円になる。
連続する増減では基準量が変わる。\( 20\% \) 増やした後に \( 20\% \) 減らすと、倍率は \( 1.2\times0.8=0.96 \) であり、元の量には戻らない。この見方は、中学校以降の変化率や複利の考え方にもつながる。

\( \TeX \)表記	読み方	意味
\frac{C}{B}	フラクション	分子を比較量、分母を基準量として \( \displaystyle \frac{C}{B} \) を表示する
\%	パーセント	予約記号の百分率記号を表示し、75\% を \( 75\% \) とする
\times	タイムズ	乗算記号を \( B\times r \) と表示する
\div	ディバイド	除算記号を \( C\div B \) と表示する
\left( \right)	レフト、ライト	内容に合う大きさの括弧を \( B\left(1-r\right) \) と表示する
\text{}	テキスト	数式中に単位や語句を立体で表示する
\approx	アプロックス	割り切れない割合の近似を \( 0.333\approx33.3\% \) と表す
\underbrace	アンダーブレース	式の一部を下から括り、その部分の意味を添える

基準量と比較量を逆に割る

割合は「比べる量 ÷ 基準にする量」で求める。問題文で何をもとにするかを先に確認する。

百分率をそのまま掛ける

\( 25\% \) は \( 0.25 \) に直してから掛ける。\( 800\times0.25=200 \) である。

割合は必ず1以下だと考える

比較量が基準量より大きければ割合は \( 1 \) を超える。\( 120 \) は \( 100 \) の \( 1.2 \) 倍、すなわち \( 120\% \) である。

20パーセント引きを0.2倍にする

値引き後に残る割合は \( 1-0.2=0.8 \) なので、元の価格を \( 0.8 \) 倍する。

増加率を変化後の量に対して求める

増加率の基準は変化前の量である。\( 80 \) から \( 100 \) への増加率は \( \displaystyle \frac{100-80}{80}=0.25=25\% \) である。

同じ百分率の増減で元に戻ると考える

基準量が途中で変わる。\( 20\% \) 増の後の \( 20\% \) 減は \( 1.2\times0.8=0.96 \) 倍である。

パーセントとポイントを同じ意味で使う

支持率が \( 40\% \) から \( 50\% \) になった差は10百分率ポイントであり、元に対する増加率は \( 25\% \) である。

百分率記号の直前にバックスラッシュを書かない

\( \TeX \)表記では % がコメントの開始を表すため、\% と記述する。

解答例

1. \( \displaystyle \frac{35}{50}=0.7=70\% \)
2. \( 600\times0.4=240 \) より、\( 240\,\mathrm{mL} \)
3. \( 240\div0.6=400 \) より、\( 400 \) 人
4. \( 0.35=35\% \)
5. \( 5000\times(1-0.15)=4250 \) より、\( 4250 \) 円
6. \( \displaystyle \frac{100-80}{80}=0.25=25\% \)
7. \( 1000\times1.2\times0.8=960 \) より、元の数より \( 40 \) 小さい

小学校算数の第5学年「C 変化と関係」では、二つの数量の関係に着目し、ある二つの数量の関係と別の二つの数量の関係を比べる場合に割合を用いることを理解する。また、百分率を用いた表し方を理解し、日常生活の問題を解決するために活用する。
指導では、公式を機械的に覚えるだけでなく、基準量を \( 1 \) とみたときに比較量がどれだけに当たるかを、数直線図や帯グラフと結び付けて考えることが大切である。割合を小数、分数、百分率で表し直す活動は、第6学年の比、比例、中学校の変化の割合や確率を学ぶ基礎になる。

次項では、二つの数量の大きさの関係を \( a:b \) の形で表す比を取り上げる。比の値、等しい比、比の簡単化を、割合とのつながりを確かめながら学び、コロンや分数を使った\( \TeX \)表記を紹介する。

異なる二つの量を比べるとき、一方を1単位にそろえた値を単位量当たりの大きさという。面積 \( 12\,\mathrm{km}^2 \) に6,000人が住む地域の人口密度は、\( 6000\div12=500\,\mathrm{人/km}^2 \) である。人数と面積のどちらを1にするかによって意味が変わるので、単位まで読むことが大切である。

速さも「単位時間当たりに進む道のり」であり、単位量当たりの大きさの一種である。速さそのものは2.8 単位――長さ、かさ、重さ、時間、速さで扱い、本項では人口密度、燃費、混み具合などを通して、二つの量の割合を1単位にそろえて比較する一般的な考え方を扱う。

量	求め方の例	単位
人口密度	人口÷面積	\( \mathrm{人/km}^2 \)
燃費	走行距離÷燃料	\( \mathrm{km/L} \)
混み具合	人数÷面積	\( \mathrm{人/m}^2 \)
1個当たりの価格	代金÷個数	円/個

小学生が算数の「割合」や「百分率」で躓 （つまず） くのは、単なる計算ミスだけが原因ではない。割合は、目に見える個数や長さそのものではなく、二つの量の関係を「何倍か」で表す抽象的な概念である。さらに、文章から基準量と比較量を読み分けなければ式を立てられない。この概念の抽象さと文章の解釈が重なるため、算数の中でも難しい学習内容になる。
つまずきは主に四つに分けられる。それぞれについて、誤り方を指摘するだけでなく、図、言葉、答えの見積り、日常の場面を結び付けて理解を支えることが大切である。

つまずき	よくある考え方	理解を助ける働きかけ
全体を \( 1 \) とみる	割合 \( 0.5 \) を \( 0.5 \) 個や \( 0.5\,\mathrm{kg} \) のような量だと考える	割合は単位を持つ量ではなく「何倍か」を表す数だと確認する
式を立てる	文章に現れた順に数を割り、基準量と比較量を逆にする	何を \( 1 \) とみるかを言葉で確かめ、答えの大きさを予想する
\( 1 \) を超える割合	割合は必ず \( 1 \) より小さいと思い、小さい数を大きい数で割る	定員超過や売上増加を使い、\( 1.2=120\% \) も割合だと捉える
表し方の変換	\( 0.05 \) を \( 50\% \)、三割を \( 0.3\% \) とする	小数、百分率、歩合を同じ数直線や換算表で対応させる

全体を1とみる感覚

これまで扱ってきた「りんごが3個」のような数には、個や \( \mathrm{kg} \) などの単位が付く。これに対して割合は、基準量を \( 1 \) とみたときに比較量が何倍に当たるかを表す。例えば、ピザ全体を \( 1 \) とすれば半分は \( 0.5 \) である。ピザ、テープ図、数直線を使って、実際の量と割合を別々に示すとよい。

公式の機械的な暗記

「くらべる量・もとにする量・割合」を図にした「く・も・わ」は式の確認には使えるが、文章の意味を読み取る代わりにはならない。「20は50の何倍か」では、\( 50 \) を \( 1 \) とみるので \( 20\div50=0.4 \) である。「何の何倍か」の「の」の直前にある語句が基準を示すことは多いが、必ず文全体で確かめる。式を作る前に「答えは \( 1 \) より小さいはず」などと予想すれば、逆に割る誤りを見つけやすい。

1を超える割合

比較量が基準量より大きいと、割合は \( 1 \) を超える。定員 \( 100 \) 人に対して \( 120 \) 人なら、割合は \( \displaystyle \frac{120}{100}=1.2=120\% \) である。「元通り」が \( 1=100\% \) であり、それより増える場合もあると、定員超過や前年より増えた売上などの例で確認する。

小数・百分率・歩合の変換

割合、百分率、歩合は別の概念ではなく、同じ関係の表し方である。百分率へ直すときは割合を \( 100 \) 倍し、百分率から割合へ直すときは \( 100 \) で割る。ただし、小数点を動かす操作だけで覚えず、\( 1=100\% \) を基準に結果が妥当か確かめる。

割合（小数）	百分率	歩合
\( 1 \)	\( 100\% \)	十割
\( 0.1 \)	\( 10\% \)	一割
\( 0.01 \)	\( 1\% \)	一分
\( 0.001 \)	\( 0.1\% \)	一厘

線分図の基本フォーマット

割合の文章題では、「実際の量」を表す線と「割合」を表す線を上下に並べる。二本の左端を \( 0 \) でそろえ、上の線には人、\( \mathrm{g} \)、円など単位のある量を、下の線には \( 0 \) から \( 1 \) までの割合または \( 0\% \) から \( 100\% \) までの百分率を書く。同じ位置にある上下の数が一組の対応を表す。

線分図を描く三つの手順

最初に、文章から基準となる「もとにする量」を見つけ、その位置を下の線の \( 1 \) または \( 100\% \) と対応させる。次に、分かっている数を単位の有無に応じて上下の線へ書く。最後に、求める場所を \( \square \) にする。「～の」の直前は基準を示すことが多いが、言葉だけで決めず、何を全体とみているかを文全体から確認する。

三つの問題パターン

割合を求めるときは、基準量に対応する \( 1 \) と比較量に対応する \( \square \) を見て、\( 10\div40=0.25 \) とする。比較量を求めるときは、基準量 \( 2000 \) 円と割合 \( 0.7 \) の組から \( 2000\times0.7=1400 \) 円とする。基準量を求めるときは、割合 \( 0.6 \) と比較量 \( 12 \) 人の組から、\( 1 \) に戻すために \( 12\div0.6=20 \) 人とする。

線分図を使いこなすコツ

問題文では「クラスの \( 0.2 \)」「定価の三割」のような「～の」に印を付け、何が \( 1 \) に対応するかを確かめる。次に、求める量が \( 1 \) より小さい部分にあるか、\( 120\% \) のように \( 1 \) を超える位置にあるかを予想する。基準量を求める問題で割り算になる理由が分かりにくいときは、「\( 0.6 \) で \( 12 \) だから、\( 1 \) に戻す」という一当たりの考え方と結び付ける。

線分図は定規で正確な縮尺に描く必要はない。最初はフリーハンドでよく、線の美しさよりも、上下の数を同じ位置に置き、対応する組を正しく示すことを優先する。線分図を描いた後に答えの大小を予想してから式を立てると、掛け算と割り算の取り違えを見つけやすい。

文章題は残る割合へ言い換える

「～引き」や「～増し」が出てきたら、元の量を \( 1=100\%=\text{十割} \) とみて、最後に求める量が元の何倍になるかへ言い換える。\( 20\% \) 引きは \( 1-0.2=0.8 \) 倍、三割引きは十割から三割を引いた七割、すなわち \( 0.7 \) 倍である。\( 20\% \) 増しは \( 1+0.2=1.2 \) 倍、三割増しは十三割、すなわち \( 1.3 \) 倍である。

「引き」では、何を問われているかにも注意する。元の価格に割引率を掛けると求まるのは値引き額であり、支払う金額ではない。支払う金額を求めるなら残る割合を掛けるか、元の価格から値引き額を引く。「増し」も同様に、増えた分だけを求めるのか、増加後の全体を求めるのかを読み分ける。

問題文の言葉	残る割合・増加後の割合	掛ける数
\( 20\% \) 引き	\( 100\%-20\%=80\% \)	\( 0.8 \)
三割引き	十割－三割＝七割	\( 0.7 \)
\( 20\% \) 増し	\( 100\%+20\%=120\% \)	\( 1.2 \)
三割増し	十割＋三割＝十三割	\( 1.3 \)

文章題を見分ける手順

第一に「何を \( 1 \) とみるか」を決める。第二に「引き」なら \( 1 \) から引き、「増し」なら \( 1 \) に足して、変化後の倍率へ言い換える。第三に、求めるものを確認する。変化後の量なら基準量に倍率を掛け、基準量なら変化後の量を倍率で割る。最後に、割引後は元より小さい、割増し後は元より大きいという予想と答えを比べる。

典型問題	考え方と式	答え
\( 20\% \) 引き	定価 \( 1500 \) 円の \( 0.8 \) 倍 \( 1500\times0.8=1200 \)	\( 1200 \) 円
三割の利益	仕入れ値 \( 800 \) 円の \( 1.3 \) 倍 \( 800\times1.3=1040 \)	\( 1040 \) 円
割引後から定価	\( 10\% \) 引き後の \( 18000 \) 円は定価の \( 0.9 \) 倍 \( 18000\div0.9=20000 \)	\( 20000 \) 円

一つ目の問題は、\( 20\% \) 引きなので支払う割合が \( 80\%=0.8 \) になる。別の考え方として、値引き額 \( 1500\times0.2=300 \) 円を先に求め、\( 1500-300=1200 \) 円としてもよい。二つ目は、利益の三割を加えた定価を求めるため \( 1.3 \) 倍する。利益額 \( 800\times0.3=240 \) 円を先に求め、仕入れ値に足す方法でもよい。
三つ目は、変化後の \( 18000 \) 円が定価の \( 0.9 \) 倍に当たるため、もとにする量を \( 18000\div0.9=20000 \) 円で求める。\( 20000\times0.9=18000 \) と確かめれば、基準量と比較量を逆にしていないことも確認できる。

値引きでは、「値引き額」と「支払う金額」を区別する。\( 20\% \) 引きなら、元の価格の \( 0.2 \) 倍が値引き額であり、残る \( 100\%-20\%=80\% \)、すなわち \( 0.8 \) 倍が支払う金額である。値札や硬貨を使った買い物の場面に置き換えると、二つの量を混同しにくい。
また、割合の理解に集中できないときは、小数の乗法と除法、とりわけ \( 1 \) より小さい小数で割る計算を復習するとよい。計算技能と概念理解を切り分け、テープ図で関係を表す、答えを予想する、最後に計算する、という順序を習慣にすることが学習の土台になる。

百分率で表された二つの値を比べるとき、「何パーセント増えたか」と「何ポイント増えたか」は意味が異なる。例えば、あるアンケートの賛成率が \( 40\% \) から \( 50\% \) になった場合、百分率どうしの差は \( 50-40=10 \) なので、10ポイントの上昇である。
一方、元の \( 40\% \) を基準にした増加率は \( \displaystyle \frac{50-40}{40}=0.25=25\% \) である。つまり、「10ポイント上昇」と「25パーセント増加」は同じ変化を別の基準で表している。

ポイントは、選挙の得票率、調査の回答率、金利など、すでに百分率で示された値の差を明確にするときに使われる。「率が \( 5\% \) 上がった」という表現だけでは、元の率に \( 1.05 \) を掛けたのか、5ポイントを足したのかが分からない。数値を読むときは、何を基準にした変化なのかを確認する必要がある。
なお、「ポイント」だけでは買い物のポイントなどと紛らわしい。文章では「百分率ポイント」と書くか、比較する二つの値と計算方法を示すと誤解を防げる。

表現	計算	結果
百分率ポイントの差	\( 50\%-40\% \)	10百分率ポイント
元の値に対する増加率	\( \displaystyle \frac{50-40}{40}\times100\% \)	\( 25\% \)

• 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編：文部科学省
• 小学校学習指導要領解説：文部科学省
• 百分率