フェルディナント・フォン・リンデマン
1882年、ドイツの数学者フェルディナント・フォン・リンデマンが証明したリンデマンの定理により、円周率 \( \pi \) とネイピア数（自然対数の底）\( e \) が超越数であることが証明された。
リンデマンの定理
有理数係数の多項式の根、すなわち
\[
\displaystyle
\begin{aligned}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x+a_0=0 \qquad \\
a_n, a_{n-1},\dots, a_1,a_0\in\mathbb{Q},\, n\ge 1
\end{aligned}
\]
の解になり得る複素数 \( x \in \mathbb{C} \) を代数的数 (algebraic number) という。代数的解でない複素数を超越数 (transcendental number) と呼ぶ。代数的数を \( \mathbb{Q} \) と表す。
\[
\displaystyle
\begin{aligned}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x+a_0=0 \qquad \\
a_n, a_{n-1},\dots, a_1,a_0\in\mathbb{Q},\, n\ge 1
\end{aligned}
\]
の解になり得る複素数 \( x \in \mathbb{C} \) を代数的数 (algebraic number) という。代数的解でない複素数を超越数 (transcendental number) と呼ぶ。代数的数を \( \mathbb{Q} \) と表す。
有理数・代数的数・超越数
1844年にフランスの数学者・物理学者のジョゼフ・リウヴィルは、
\[
\displaystyle
\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0.110001 \ 000000 \ 000000 \ 000001 \ 000000 \ 000000 \dots
\]
が超越数であることを証明した。これをリウヴィル数と呼び、超越数であることが証明された初めての数である。
\[
\displaystyle
\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0.110001 \ 000000 \ 000000 \ 000001 \ 000000 \ 000000 \dots
\]
が超越数であることを証明した。これをリウヴィル数と呼び、超越数であることが証明された初めての数である。
1882年にリンデマンは、\( \displaystyle a_1, a_2, \dots ,a_n \) が相異なる代数的数であるとき、\( \displaystyle e^{a_1}, e^{a_2}, \dots ,e^{a_n} \) は \( \mathbb{Q} \) 上で一次独立であること、すなわち
\[
\displaystyle
c_1 e^{a_1} + c_2 e^{a_2} + \dots + c_n e^{a_n} = 0
\]
を満たす代数的数の組 \( ( c_1, c_2, \dots ,c_n ) \) は \( ( 0, 0, \dots , 0 ) \) のみであることを証明した。
このことから直ちに、\( n=2, \quad a_1=0, \quad a_2=a \neq 0 \) とすると、1 と \( \displaystyle e^a \) は \( \mathbb{Q} \) 上で一次的独立となるから、0でない代数的数 \( a \) に対して \( e^a \) は超越数である。すなわち、ネイピア数 \( e \) が超越数であることが分かる。
\[
\displaystyle
c_1 e^{a_1} + c_2 e^{a_2} + \dots + c_n e^{a_n} = 0
\]
を満たす代数的数の組 \( ( c_1, c_2, \dots ,c_n ) \) は \( ( 0, 0, \dots , 0 ) \) のみであることを証明した。
このことから直ちに、\( n=2, \quad a_1=0, \quad a_2=a \neq 0 \) とすると、1 と \( \displaystyle e^a \) は \( \mathbb{Q} \) 上で一次的独立となるから、0でない代数的数 \( a \) に対して \( e^a \) は超越数である。すなわち、ネイピア数 \( e \) が超越数であることが分かる。
円周率 \( \pi \) が代数的数であると仮定すると \( i \pi \) も代数的数であるから、上記より \( \displaystyle e^{i \pi} \) は超越数である。しかし、オイラーの公式より \( \displaystyle e^{i \pi} = -1 \) であるから、これは矛盾する。したがって、円周率 \( \pi \) は超越数である。
参考サイト
- 超越数：笑わない数学, NHK
- 超越数の発見が拓く数の世界：慶應義塾大学理工学部
- Lindemann-Weierstrassの定理は意外と難しくない：Mathlog
この時代の世界
（この項おわり）
